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為了打通微積分的“任督二脈”，讓我們來愉快地求導數吧的延續閱讀。

在對幂函數y=x^μ求導時，我們用到了以自然常數e為底數的對數函數y=ln x的求導結果（ln x）'=1/x。那麼，它的求導過程是怎麼樣的呢？我們一起來了解一下。

對數函數y=log(a)x直接求導是很難實現的，因為[log(a)（x h)-log(a)x]沒法繼續合并或分解。但前文中，我們已經求得了指數函數y=a^x的導數，(a^x)'=a^x*ln a。既然兩者互為正反函數，我們據此，來推導一下它們的導數之間的關系。

值得注意的一點是，對數函數y=log(a)x和指數函數y=a^x互為正反函數，是從它們的函數法則上講的。對于反函數y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函數（或直接函數）表達式應為：x=a^y或g(y)=a^y。

設存在一個直接函數（或正函數）x=g(y)（導數已知），它的反函數為y=f(x)。

直接函數（或正函數）x=g(y)的導數g'(y)=△x/△y，而反函數y=f(x)的導數f'(x)=△y/△x。所以有f'(x)=1/g'(y)。也就是說，正反函數的導數互為倒數。

導數是需要極限運算的，上式中的g'(y)和f'(x)略去了極限字符lim，但這不影響兩者的互為倒數關系。

我們先對直接函數g(y)=a^y求導，得：g'(y)=a^y*ln a。

那麼，反函數f(x)=log(a)x的導數f'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f'(x)=1/（x*ln a），記作(log(a)x)'=1/（x*ln a）。取a=e時，（ln x）'=1/x。

比較常見的正反函數還有三角函數和反三角函數。

我們以正弦函數和正切函數為例，來推導一下它們的反函數的導數。

先給出正弦函數y=sin x的導數f'(x)=cos x，正切函數y=tg x的導數f'(x)=sec^2 x。在後面的文章裡我們會再作推導，歡迎關注閱讀。

1、設正弦函數x=sin y為直接函數，它的反函數為反正弦函數y=arc sin x。略過對定義域的讨論，我們直接推導：

(arc sin x)'=1/(sin y)'=1/cos y。接下來，我們把餘弦cos y轉換成正弦sin y，并進一步轉換成x。

因為，cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)'=√(1-x^2)。

2、設正切函數x=tg y為直接函數，它的反函數為反正切函數y=arc tg x。略過對定義域的讨論，我們直接推導：

(arc tg x)'=1/(tg y)'=1/sec^2 y。接下來，我們把正割sec y轉換成正切tg y，并進一步轉換成x。

因為，sec^2 y=1 tg^2 y=1 x^2，所以有，(arc tg x)'=1 x^2。

看到此處，有的小夥伴可能會産生一些困惑：怎麼一會y，一會x的，鬧哪樣啊？

對于反函數y=f(x)，x是自變量，y是因變量；而對于直接函數（或正函數）x=g(y)，y是自變量，x是因變量。但在計算過程中，自變量和因變量的身份已經不重要了，重要的是x與y之間的函數法則不變。

比如，上面的等式(arc sin x)'=1/cos y，我們用y'來替代f'(x)，即y'=f'(x)=(arc sin x)'。可以得到一個新的等式：y'=1/cos y。等式裡已經看不到自變量x，但這樣的表達式也是成立的，因為它已經是一個微分方程了。

無論原函數還是導函數，我們都可以把它看作是一個方程式。式中，無論x、y、x'、y'、dy、 dx，都是可以同時存在的，隻要它們遵循正确的函數法則。

而我們要做的，是把它們轉換成我們需要的樣子。

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