上一篇文章我們複習了函數求導的定義和一些常見函數的導數，今天這篇文章我們回顧一下複雜函數的求導方法。先強調一下，今天的文章很重要，想要看懂機器學習各種公式推導，想要能夠自己推一推各種公式，函數求導是基礎中的基礎，在算法這個領域，它比積分要重要得多。

我們先來看第一種情況：多個函數進行四則運算的導數。

函數四則運算求導法則

我們假設 u = u(x) 和 v = v(x) 都在x點有導數，那麼它們進行加減乘除四則運算之後的結果的導數有如下性質：

我們來看一下證明過程，熟悉證明過程并不是炫技，除了能加深對公式的理解之外，更重要的是防止遺忘。即使以後真的不記得公式的細節了，也可以臨時推導一下，這是學算法和數學很重要的技巧。

我們先來看第一個，第一個很容易證明，我們直接套一下導數的公式即可：

第二個式子同樣套用公式：

最後是第三個式子的推導，也并不複雜：

反函數求導法則

推導完了四則運算的求導法則，我們再來看一下反函數的求導法則。

我們陷在了看結論，如果函數 x = f(y) 在區間 Iy 内單調、可導并且 f'(x) != 0，那麼它的反函數

在區間 Ix = {x | x = f(x), y ∈ Iy} 内也可導，那麼：

關于這個結論的證明很簡單，因為 x = f(y) 在區間内單調、可導，所以它的反函數存在，并且也單調且連續。

所以:

由于反函數連續

所以上式成立。

我們來看一個例子：

則

是它的反函數，根據上面的公式，我們可以得到：

由于

代入上式可以得到：

利用同樣的方法，我們還可以求出其他反三角函數的導數，由于這些并不太常用，所以我們就不多介紹了，感興趣的同學可以自己利用導數的定義推導一下，我想應該也不難。

複合函數求導

這是最後一個法則，也是本篇文章的重點，因為經常用到。我們現在已經搞定了一些常見的函數，還搞定了常見函數加減乘除之後求導的結果，但是對于一些看起來比較複雜的函數，我們并不能一下寫出它們的導數。

比如說：sin(x^2 3x) ，比如 ln(3x 1)等等，這些函數基本上都可以确定是連續并且可導的，但是我們一下子并不能寫出它們的導數，而且要通過導數的定義推導也非常麻煩，對于這些導數就需要用到今天的重頭戲，也就是複合函數的求導法則了。

對于複合函數而言，擁有如下法則：如果函數 u = g(x) 在點x處可導，并且 y = f(u) 在點 u = g(x) 處也可導，那麼複合函數 y = f[g(x)] 在x處可導，它的導數為：

如果複合函數的數量更多也是一樣的，我們按照順序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根鍊條一樣依次所以，複合函數求導法則也叫鍊式求導法則。在舉例之前，我們先來證明一下。

由于 y = f(u) 在點u處可導，因此

因為 f'(u) 存在，所以我們将它變形為：

其中a是 Δu 趨向于0 時的無窮小，我們對兩邊同時乘上 Δu ，可以得到：

上式當中 Δu 和a都是無窮小，所以當 Δu 趨向于0 時，Δy = 0，我們對上式兩邊同時除以

Δx ，得：

于是：

又根據 u = g(x) 在點x處可導，所以有：

我們代入，就可以得到：

其實我們都知道相比于公式的證明，公式的運用更加重要，下面我們就來看兩個例子，來鞏固一下這個鍊式求導法則： y = lnsin3x ，求 y'

我們令 u = 3x, g = sinu

所以：

再舉個例子，還記得我們之前推導線性回歸時候用到的均方差的公式嗎：

我們來試着學以緻用，求一下 f(θ) 的導數，在機器學習當中，X和Y都是樣本都是已知的參數，要求的是 θ ，所以我們對 θ 求導：

這個結果其實就是之前我們說的梯度，梯度本來就是由導數計算得到的，所以理解了鍊式求導的公式，可以再回過頭看看之前線性回歸和梯度推導的公式，相信會有更深刻的體會。

今天的文章篇幅有些長，但是除去證明之後，剩下的内容并不多，重要的是它的應用範圍很廣，所以希望大家都能學會。

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