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高中數學空間向量點到平面的距離

教育更新时间:2025-01-08 20:25:02

傳統計算空間角與距離需經過“作、證、算”三個步驟，引進空間向量這個有力的工具，給處理角與距離開辟了一條新的路徑。

如何求平面的法向量。

設

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是平面的一個法向量，

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是平面内任意兩個不共線的向量。根據

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知

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，則

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，

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。這樣可以找出三個坐标x,y,z之間的關系，進而得到一組特解（x,y,z），即可作為的坐标。

一、求解點面距離與線面角

解法原理：如圖1，已知點A是平面外的一點，是平面的一個法向量，點B是平面内一點，作

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平面于C，則

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。因為

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，所以

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。所以點A到平面的距離

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。在

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中，

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是AB與平面所成的角，

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是垂線AC與斜線AB的夾角，也分别是

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的夾角，

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的夾角（或其補角），有

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。

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圖1

二、求解二面角

解法原理：如圖2，設二面角

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的大小為

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分别是平面M與平面N的法向量，則角與角<

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>相等或互補，所以

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圖2

三、例題

已知如圖3，直三棱柱

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中，

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是側棱

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的中點。

（1）求證：平面

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；

（2）求與平面ABM所成的角。

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圖3

解析：設平面ABM的法向量是

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，平面

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的法向量是。

（1）要證平面，隻要有

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即可。

建立如圖所示的空間直角坐标系，則A（

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），B（0，1，0），M（0，0，

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），

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。可知

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。設

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，由

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和

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，可得

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。

不妨取

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，則

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，所以

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。同理可求得

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。而

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，故

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垂直，即平面

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平面。

（2）（法一）設點

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在平面ABM内的射影為點H，則在平面ABM内的射影為BH，

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是與平面ABM所成角，且

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在

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中，

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，

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，所以與平面ABM所成的角為

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。

（法二）設

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的夾角為

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，則可算得

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。設與平面ABM所成的角為

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，有

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。

總結：利用向量工具來求解空間角的大小，省去作角與論證這兩個步驟，因而降低了處理問題的難度。此外從上面例題兩問解法來看，其操作性也是有章可尋的。

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