樣本均值分布

信用卡是銀行對個人資質進行審核後發放給個人的透支卡。A 銀行所有信用卡客戶的收入分布情況如圖 8-6 所示，該圖中的數據曲線以中位數和均值為基準，明顯右偏，稱為右偏分布。

信用卡客戶的收入大部分集中在 7000 元左右，均值向左的一側數據線條較短，是因為銀行通常會拒絕低收入者的申請；均值向右的一側數據線條較長且呈下降趨勢，是因為随着收入的增高，用戶對信用卡的依賴性會越來越低，同時，高收入者的數量占總體比例更小。

可是，這并不代表高收入人群不需要信用卡，月入 10 萬元的人可能喜歡高端信用卡帶來的尊貴感。每個銀行發放信用卡的策略不同，如果有個銀行特别喜歡發行高端信用卡，對于月收入 1 萬元以下的客戶審核非常嚴格，導緻很少能通過申請，那麼曲線應該是左偏的。

圖 8-6 A 銀行信用卡用戶月平均收入水平分布

假設以 A 銀行的全部信用卡用戶為總體進行随機抽樣，抽取 1000 個用戶，計算得到樣本均值 7100，樣本中位數 8800，如圖 8-7 所示。

圖 8-7　從 A 銀行信用卡用戶中随機抽樣得到的樣本分布

從圖 8-7 可見樣本分布和總體分布的形狀很相似，均值的變化幅度很小。由于每次抽樣都有差别，如果多次抽樣，每次抽樣都是 1000 個用戶，每次的分布都是既相似又不同，如圖 8-8 所示。

圖 8-8　多次抽樣後不同樣本的分布及均值

将圖 8-8 中所有的實心圓點對應的值（樣本均值）取出來，可以得到一個均值列表，該列表中有 6 個均值，如果次數足夠多，抽取 m 次，那麼就可以得到一個由 m 個值組成的樣本均值列表，如圖 8-9 所示。

圖 8-9 m 次抽樣得到的樣本均值列表

統計學家證明，如果 m 的次數足夠大，由 m 個均值得到的分布是一個正态分布。

由此可以得到中心極限定理：對于任意給定的分布，每次抽取 n 個樣本，一共抽取 m 次，對 m 組樣本數據分别求出均值，m 個均值的分布呈正态分布。

從 A 銀行的例子中可以看到，總體的分布可以是任意分布（可以不是正态分布），這不影響樣本均值的分布是正态分布。但是中心極限定理是否能發揮作用，極度依賴于樣本量 n的大小。

假設樣本量 n 分别為 2、3、10、30，并分别做出樣本均值分布圖，如圖 8-10 所示。随着樣本數 n的增大，樣本均值分布曲線越來越接近正态分布。

中心極限定理的标準定義：

對一個均值為 µ 、标準差為δ的總體抽取樣本量為 n 的随機樣本，x 是樣本平均數。

™ 當抽樣次數 n 足夠大時，樣本均值的抽樣分布接近正态分布。經驗認為，n ≥ 30 時樣本量足夠大。

圖 8-10　樣本均值分布曲線随着 n 的變化而變化

樣本均值的抽樣分布的均值等于 µ 。

樣本均值抽樣分布的标準差是 / n 。總體的方差是δ 2，樣本均值的方差就是δ 2/n，将方差開方即得到标準差為 / n 。

樣本均值分布的标準差也稱為抽樣誤差。

表8-1标準差與标準誤差的區别

樣本分為大樣本和小樣本，通常認為樣本量 n ≥ 30 時是大樣本，n ＜ 30 時是小樣本。這是統計學的經驗說法。在更複雜的計量經濟學中，有時成百上千的樣本量也算不上大樣本，所以大小樣本要看實際情況而定。

中心極限定理的應用

某銀行服務商同時為多家銀行服務，假設出現信息洩露事件，導緻一萬名銀行信用卡客戶的收入數據外洩。最初并不知道這些數據屬于哪一家銀行，所以每一個銀行都在驗證是否是自家客戶，A 銀行也是其中之一。

由于數據已經洩露，A 銀行也可以拿到這批數據，所以 A 銀行第一時間确定了該數據樣本量，這批數據的客戶數量是 10 000，客戶收入均值是 12 800。A 銀行同時也知道自己客戶的收入均值為 7000，标準差為 1600。如果給 A 銀行的所有客戶進行樣本量為 10 000 的随機抽樣，樣本均值抽樣分布的均值是 7000，标準誤差是 1600/ 10 000 =16。

假設這批客戶是 A 銀行的，那麼其均值應該服從 A 銀行的樣本均值抽樣分布，如圖 8-11 所示。

圖 8-11 A 銀行樣本均值抽樣分布

樣本均值的分布近似于正态分布，那麼它也具備正态分布的所有特征，同樣也适用 68-95-99.7 法則（請參閱 7.4.2 節）。從圖 8-11 中可以看到，從均值向右 3 個标準誤差的值是 7048，均值向左 3 個标準誤差的值是 6952，均值在 7048和 6952 之間的概率是 99.7%，而這批數據的均值是 12 800，大于 7048，也就是說這批數據是 A 銀行流出的可能性幾乎為零。

中心極限定理是統計推斷的基礎，統計推斷又是統計學的核心内容，隻有真正理解了中心極限定理，才能靈活運用各種假設檢驗。

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