第一單元圓

圓概念總結

1．圓的定義：平面上的一種曲線圖形。

2．将一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。圓心一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等．

3．半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。半徑一般用字母r表示。把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4．圓心确定圓的位置，半徑确定圓的大小。

5．直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d表示。

6．在同一個圓内，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7．在同一個圓内，有無數條半徑，有無數條直徑。

8．在同一個圓内，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。

用字母表示為：d＝２r r ＝1/2d

用文字表示為：半徑=直徑÷2 直徑=半徑×2

9．圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。

10．圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。我們把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率，用字母表示。圓周率是一個無限不循環小數。在計算時，取π≈3.14。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。

11．圓的周長公式：C=πd 或C=2πr

圓周長=π×直徑 圓周長=π×半徑×2

12、圓的面積：圓所占面積的大小叫圓的面積。

13．把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，用字母（πr）表示，寬相當于圓的半徑，用字母（r）表示，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積= πr×r。圓的面積公式：Ｓ＝πｒ²。

14．圓的面積公式：Ｓ＝πｒ² 或者S=π（d/2）² 或者S=π（C÷(2π)）²≈

15．在一個正方形裡畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。

16．在一個長方形裡畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。

17．一個環形，外圓的半徑是R，内圓的半徑是r，它的面積是S=πR²－πｒ² 或 S=π（R²－ｒ²）。

（其中R＝r＋環的寬度．）

19．半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。半圓的周長與圓周長的一半的區别在于，半圓有直徑，而圓周長的一半沒有直徑。

半圓的周長公式：Ｃ＝πd/2＋d 或 Ｃ＝πr＋2r

圓周長的一半=πr

20．半圓面積＝圓的面積÷2 公式為：Ｓ＝πｒ²/2

21．在同一個圓裡，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍數的平方倍。

例如：在同一個圓裡，半徑擴大４倍，那麼直徑和周長就都擴大４倍，而面積擴大１６倍。

22．兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。

例如：兩個圓的半徑比是２：３，那麼這兩個圓的直徑比和周長比都是２：３，而面積比是４：９。

圓周長和直徑的比是π：1，比值是π

圓周長和半徑的比是2π：1，比值是2π

23．當一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２πａ厘米；

當一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加πａ厘米。

24．在同一圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積就占圓面積的幾分之幾；所對的弧就占圓周長的幾分之幾．

25．當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓的面積最大，長方形的面積最小

26．扇形弧長公式：扇形的面積公式： S=nπｒ²/360 （n為扇形的圓心角度數，r為扇形所在圓的半徑）

27．軸對稱圖形：如果一個圖形沿着一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

28．有一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

有2條對稱軸的圖形是：長方形

有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形

有4條對稱軸的圖形是：正方形

有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環。

29．直徑所在的直線是圓的對稱軸。

第二單元 分數混合運算

1.分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。

2.分數乘法的計算法則

分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但分子分母不能為零.。

3.分數乘法意義

分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。一個數與分數相乘，可以看作是求這個數的幾分之幾是多少。

4.分數乘整數：數形結合、轉化化歸

5.倒數：乘積是1的兩個數叫做互為倒數。

6.分數的倒數

找一個分數的倒數，例如3/4 把3/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/3。3/4是4/3的倒數，也可以說4/3是3/4的倒數。

7.整數的倒數

找一個整數的倒數，例如12，把12化成分數，即12/1 ，再把12/1這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是1/12 ，12是1/12的倒數。

8.小數的倒數

普通算法：找一個小數的倒數，例如0.25 ，把0.25化成分數，即1/4 ，再把1/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/1

9.用1計算法：也可以用1去除以這個數，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒數4 ，因為乘積是1的兩個數互為倒數。分數、整數也都使用這種規律。

10.分數除法：分數除法是分數乘法的逆運算。

11.分數除法計算法則：

甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

12.分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數求另一個因數。

13.分數除法應用題：先找單位1。單位1已知，求部分量或對應分率用乘法，求單位1用除法。

第三單元 觀察物體

1． 能正确辨認從不同方向（正面、側面、上面）觀察到的立體圖形（5個小正方形組合）的形狀，并畫出草圖。

2． 能根據從正面、側面、上面觀察的平面圖形還原立體圖形（5個正方體組合）進一步體會從三個方向觀察就可以 确定立體圖形的形狀；能根據給定的兩個方向觀察到的平面圖形的形狀，确定搭成這個立體圖形所需要的立方體的數量範圍。

3． 經曆分别将眼睛、視線與觀察的範圍抽象為點、線、區域的過程，感受觀察範圍随觀察點、觀察角度的變化而改 變，能利用所學的知識解釋生活中的一些現象。

4． 能正确辨認從不同方向（正面、側面、上面）觀察到的立體圖形（5個小正方形組合）的形狀，并畫出草圖。

5． 能根據給定的兩個方向觀察到的平面圖形的形狀，确定搭成這個立體圖形所需要的立方體的數量範圍。

第四單元 百分數

（一）百分數的基本概念

1．百分數的定義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。

百分數表示兩個數之間的比率關系，不表示具體的數量，所以百分數不能帶單位。

2．百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。

例如：25％的意義：表示一個數是另一個數的25％。

3．百分數通常不寫成分數形式，而在原來分子後面加上“％”來表示。分子部分可為小數、整數，可以大于100，小于100或等于100。

4．小數與百分數互化的規則：

把小數化成百分數，隻要把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分号；

把百分數化成小數，隻要把百分号去掉，同時把小數點向左移動兩位。

5．百分數與分數互化的規則：

把分數化成百分數，通常先把分數化成小數（除不盡的保留三位小數），再把小數化成百分數；

把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。

第五單元 數據處理

一、繪制條形統計圖（主要是用于比較數量大小）

1、寫出統計圖的标題，在上方的右側表明制圖日期。

2、确定橫軸、縱軸。

3、在橫軸上适當分配條形的位置，确定條形的寬度和間隔。（直條的寬窄要一緻，間隔也要一緻，單位長度要統一）

4、縱軸上确定單位長度。确定單位長度所代表的量要根據最大和最小的來綜合考慮。

5、根據數據的大小畫出長短不同的直條。

6、給直條圖形不同的顔色（或底紋），并在統計圖右上角注明圖例。

二、關于複試條形統計圖

1、制作複試條形統計圖與單式條形統計圖的制作方法相同。

隻是在每組數據中各量要用顔色或底紋區分。

2、複試條形統計圖---直條的寬窄要一緻，間隔要一緻，單位長度要統一。

3、運用橫向、縱向、綜合、對比等不同方法觀察，可以讀懂複試條形統計圖，從中獲取盡可能多的信息。

4、複試條形統計圖有縱向和橫向兩種畫法。

繪制複試折線統計圖（不僅可以比較大小，還可以比較數量變化的快慢）

a、隻有一條折線的折線統計圖叫做單式折線統計圖。

b、用不同的折線表示不同的數量變化情況的折線統計圖叫做複試折線統計圖。

1、寫出統計圖的标題，在上方的右側表明制圖日期。

（也有不寫制圖時間的）

2、确定橫軸、縱軸。

3、在橫軸上适當分配各點的位置，确定點和點之間的距離。

5、根據數據的大小描出各點。

6、用不同的線段将各點連接起來。

考點1：三種單式統計圖和兩種複式統計圖。

1、三種統計圖：條形統計圖表示數量的多少、 折線統計圖表示數量多少、反映增減變化、扇形統計圖表示部分與整體的關系。

2、複式條形統計圖：用兩種不同的條形來分别表示不同的類型。複式折線統計圖：用兩條不同的線來表示，一條用實線，另一條用虛線。

3、反映某城市一天氣溫變化，最好用折線統計圖，反映某校六年級各班的人數，用（ 條形 ）統計圖比較好，反映笑笑家食品支出占全部支出的多少，最好用扇形統計圖。

考點2：數據世界（大數的乘法和除法）

考點3：數字的用處（按規則編學号和身份證号碼）

考點4：正負數“0”表示分界；正負數表示方向；正負數人為規定的特殊“0”

第六單元 比的認識

（一）比的基本概念

1．兩個數相除又叫做兩個數的比。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。

2．比值通常用分數、小數和整數表示。

3．比的後項不能為0。

4．同除法比較，比的前項相當于被除數，後項相當于除數，比值相當于商；

5．根據分數與除法的關系，比的前項相當于分子，比的後項相當于分母，比值相當于分數的值。

6．比的基本性質：比的前項和後項同時乘上或者同時除以相同的數（0除外），比值不變。

（二）求比值

1、求比值：用比的前項除以比的後項

（三）化簡比

1、化簡比：用比的前項除以比的後項求出分數的比值後，在把分數比值改成比。

（四）比的應用

1、比的第一種應用：已知兩個或幾個數量的和，這兩個或幾個數量的比，求這兩個或這幾個數量是多少？

例如：六年級有60人，男女生的人數比是5：7，男女生各有多少人？

題目解析：60人就是男女生人數的和。

解題思路：第一步求每份：60÷（5 7）=5人

第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。

2、比的第二種應用：已知一個數量是多少，兩個或幾個數的比，求另外幾個數量是多少？

例如：六年級有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？

題目解析：“男生25人”就是其中的一個數量。

解題思路：第一步求每份：25÷5=5人

第二步求女生： 女生：5×7=35人。全班：25 35=60人

3、比的第三種應用：已知兩個數量的差，兩個或幾個數的比，求這兩個或這幾個數量是多少？

例如：六年級的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？

4、要求量=已知量×

5、比在幾何裡的運用：

（1）已知長方形的周長，長和寬的比是ａ：ｂ。求長和寬、面積。

長=周長÷2×a/(a b) 寬=周長÷2×b/(a b) 面積＝長×寬

（2）已知已知長方體的棱長和，長、寬、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求長、寬、高、體積

長=周長÷４×a/(a b c) 寬=周長÷４×b/(a b c)

高=周長÷４×c/(a b c) 體積＝長×寬×高

（３）已知三角形三個角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三個内角的度數。

三個角分别為：

１８０×a/(a b c) １８０×b/(a b c) １８０×c/(a b c)

（４）已知三角形的周長，三條邊的長度比是ａ：ｂ：ｃ，求三條邊的長度。

三條邊分别為：

周長×a/(a b c) 周長×b/(a b c) 周長×c/(a b c)

第七單元 百分數應用

百分數應用題（一）

求增加百分之幾？減少百分之幾？

公式：增加百分之幾=增加的部分÷單位1

減少百分之幾=減少的部分÷單位1

例如：1、45立方厘米的水結成冰後，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？

解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位1，先确定單位1是水，已經知道是45：增加的部分不知道，可以利用50減45求得5；最後用增加的部分5÷單位1水的45就等于增加百分之幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米

第三步：增加百分之幾：5÷45=11.1%

2、45立方厘米的水結成冰後，體積增加了5立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？

解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位1，先确定單位1是水，已經知道是45：增加的部分是5立方厘米；最後用增加的部分5÷單位1水的45就等于增加百分之幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：5立方厘米

第三步：增加百分之幾：5÷45=11.1%

3、水結成冰後，體積增加了5立方厘米，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？

解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位1，先确定單位1是水，不知道但可以根據題目“水結成冰後，體積增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最後用增加的部分5÷單位1水的45就等于增加百分之幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：50—5=45立方厘米

4、“減少百分之幾與增加百分之幾”的解題方法完全相同。

5、與增加百分之幾相同的還有“多百分之幾”“提高百分之幾”

“增長百分之幾“等。

與減少百分之幾相同的還有“少百分之幾”“降低百分之幾”“節約百分之幾”等。

百分數應用題（二）

比一個數增加百分之幾的數，比一個數減少百分之幾的數。

例如1、矣得小學去年有80名學生，今年的學生人數比去年增加了25%，今年有多少名學生？

解題思路：單位1去年已經知道用乘法，增加用（1 25%）

算式：80×（1 25%）

2、矣得小學去年有80名學生，今年的學生人數比去年減少了25%，今年有多少名學生？

解題思路：單位1去年已經知道用乘法，減少用（1-25%）

算式：80×（1-25%）

3、矣得小學今年有100名學生，比去年增加了25%，去年有多少名學生？

解題思路：單位1去年不知道用除法，增加用（1 25%）

算式：100÷（1 25%）

4、矣得小學今年有100名學生，比去年減少了25%，去年有多少名學生？

解題思路：單位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）

算式：100÷（1-25%）

百分數應用題（三）列方程解百分數應用題

1、小明看一本書，第一天看了全書的25%，第二天看了全書的20%，第一天比第二天多看20頁，這本書一共有多少頁？

解題思路：單位1一本書不知道，可以選用方程或除法來解答。

根據“第一天比第二天多看20頁”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天減去第二天等于多出的20頁。

等量關系式：第一天—第二天=20頁

方法1：解：設這本書一共有X頁。

由“第一天看了全書的25%”可以知道第一天等于全書乘以25%，用X可以表示為25%X，由“第二天看了全書的20%”可以知道第二天等于全書乘以20%，用X可以表示為20%X.依據等量關系式“第一天—第二天=20頁”可以列方程為：25%X—20%X=20

方法2：“第一天比第二天多看20頁”可以知道20頁是第一天和第二天的差。要求單位1隻要用20頁除以20頁的對于分率。

列算式為：20÷(25%—20%)

2、小明看一本書，第一天看了全書的25%，第二天看了全書的20%，兩天共看了20頁，這本書一共有多少頁？

等量關系式：由“兩天共看了20頁”可以知道第一天 等二天=20頁。

方程法：解：設這本書共有X頁，則第一天為25%X，第二天為20%X。

方程列為：25%X 20%X=20

算術法：由“兩天共看了20頁”可以知道20頁是第一天和第二天的和，要求單位1隻要用20頁除以20頁的對于分率。

列算式為：20÷(25% 20%)

3、小明看一本書，第一天看了全書的25%，第二天看了全書的20%，還剩20頁，這本書一共有多少頁？

等量關系式：一本書—第一天—第二天=20頁

方程法：解設這本書一共有X頁，則第一天為25%X，第二天為20%X。

列方程為：X—25%X—20%X=20

算術法：20÷（1- 25%X-20%）

4、小明看一本書，第一天看了全書的25%，第二天比第一天多看10頁，還剩20頁，這本書一共有多少頁？

方程法：解設這本書一共有X頁，則第一天為25%X，第二天為（25%X 10）頁。

列方程為：X—25%X—（25%X 10）=20

百分數應用題（四）利息的計算

1.本金：存入銀行的錢叫做本金。

2．利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息=本金×利率×時間

3．2008年10月9日以前國家規定，存款的利息要按20％的稅率納稅。國債的利息不納稅。2008年10月9日以後免收利息稅。所以如無特殊說明，就不在計算利息稅。

4．利率：利息與本金的比值叫做利率。

5．銀行存款稅後利息的計算公式：稅後利息＝利息×（１－20％）

6．國債利息的計算公式：利息＝本金×利率×時間

7．本息：本金與利息的總和叫做本息。

8．應納稅額：繳納的稅款叫應納稅額。

9．稅率：應納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

10．應納稅額的計算：應納稅額＝各種收入×稅率

例如：李老師把2000元錢存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計算，到期時，李老師的本金和利息共有多少元？

解題思路：要求“本金和利息共有多少元”應該用本金的2000元加上利息的。

解題步驟：第一步：根據“利息＝本金×利率×時間”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：本金 利息：2000 414=2414元。

例如：李老師把2000元錢存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計算，到期時，李老師的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%來上稅）

第二步：算稅後利息：414×（1—20%）=331.2元

本金 利息：2000 331.2=233.2元。

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