為什麼那麼努力的學數學還是不見起色?你應該明白數學學習的不僅是學習數學知識，更多是要求我們不斷歸納反思求解問題的思路，力求形成解題模式模型。著名科學家錢學森先生說："模型就是通過對問題現象的分解，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創造出來的一副圖畫……"。模型其實就是一種最簡化的圖形，在學習中它是由最小的知識模塊和操作方法組成，模型解題就是：用最簡單的模塊對應的規律去解決各種各樣的問題。為了讓讓同學們的複習工作更高效精準，特數學模型化研究和提煉和研究，本文主要抽取和探索共頂點三條線段的數學模型---三爪圖模型及其問題求解策略。

模型介紹：爪子模型：共頂點引發的三條（多）條線段。解題策略有如下兩個：

解題策略1：構造輔助圓

例1．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠CAD＝3∠BAC，若∠DBC＝42°，則∠CAD＝_____ ，∠BDC＝____ ．

【分析】由AB＝AC＝AD可知點B，C，D在以A為圓心的圓上，根據圓心角和圓周角的關系即可求得．

【解答】∵AB＝AC＝AD，

∴點B，C，D在以A為圓心的圓上，

∵∠DBC＝42°，∴∠CAD＝2∠DBC＝84°，

∵∠CAD＝3∠BAC，∴∠BAC＝1/3∠CAD＝28°，

∵∠BDC＝1/2∠BAC，∴∠BDC＝1/2×28°＝14°．

故答案為：84°，14°．

例2.在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，則BD長為______．

【分析】以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的長．

【解答】以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．

∵AB＝AC＝AD＝2，∴D，C在圓A上，

∵DC∥AB，∴弧DF＝弧BC，

∴DF＝CB＝1，BF＝AB AF＝2AB＝4，

∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB＝90°，

∴由勾股定理可求得BD＝√15，

故答案為：√15．

例3. 如圖，在正方形ABCD外側作直線DE，點C關于直線DE的對稱點為M，連接CM，AM．其中AM交直線DE于點N．若45°＜∠CDE＜90°，則當MN＝4，AN＝3時，正方形ABCD的邊長為（ ）

A．√7 B．5 C．5√2 D．5√2/2

解析：如圖2，連接DM，由于點C,M關于直線DE對稱，故直線DE垂直平分線段CM，

因而DC=DM，由四邊形ABCD是正方形，故DA=DC=DM,即點A、C、M到點D的距離相等。根據這一雞爪模型特性，我們想到構造以D為圓心，DA為半徑畫圓，則點C、M必在⊙D上，由∠ADC＝90°,易得∠AMC＝45°，連接CN，則CN=MN=4，故∠MCN=∠AMC＝45°,從而∠ANC＝90°,連接AC，不難求出AC=5，AB=5√2/2， 故選D.

點評：随着直線DE位置變化，點M的位置也在變化，但它一定在以點D為圓心，DA的昌為半徑的圓上，這就是運動變化中的不變關系。解決這類問題的關鍵是抓住"點A、C、M到點D的距離相等"這一特征，但這個特征往往比較隐蔽，不易發現，要綜合考慮本題中的所有條件，而且要有一定的洞察力和解題經驗。

【常規解法】如圖所示，連接CN、DM、AC，

∵點C關于直線DE的對稱點為M，

∴CN＝MN，CD＝DM，

∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC，∴∠DCN＝∠DMN，

在正方形ABCD中，AD＝CD，

∴AD＝DM，∴∠DAM＝∠DMN，∴∠DCN＝∠DAM，

∵∠ACN ∠CAN＝∠BCD﹣∠DCN ∠CAD ∠DAM＝∠BCD ∠CAD＝90°，

∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°，

∴△ACN是直角三角形，∴由勾股定理可求得AC＝5，

∴正方形ABCD的邊長＝√2/2AC＝5√2/2．故選：D．

解題策略2：實施旋轉變換

當三條線段不等時或題目隐含等邊時，遇多少度旋轉多少度，構造手拉手模型（全等或相似）來解決問題。

例4．已知：P是邊長為1的正方形ABCD内的一點，求PA PB PC的最小值．

【分析】順時針旋轉△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形，若PA PB PC＝AP PE EF要使最小隻要AP，PE，EF在一條直線上，求出AF的值即可．

【解答】順時針旋轉△BPC 60°，可得△PBE為等邊三角形．

即得PA PB PC＝AP PE EF要使最小隻要AP，PE，EF在一條直線上，

即如下圖：可得最小PA PB PC＝AF．

此時∠EBC ∠CBP＝∠FBE ∠EBC＝60°＝∠FBC，

所以∠ABF＝90° 60°＝150°，∠MBF＝30°，

BM＝BF•cos30°＝BC•cos30°＝√3/2，MF＝1/2，則AM＝1 √3/2，

在△AMF中，勾股定理得：AM² MF²＝AF²,

該題所求的點P實際上是費馬點,而費馬點的證明實際上是幾何中圖形旋轉的典型應用,思考以下幾個問題:

①為什麼要把∆BPC順時針旋轉60°,旋轉∆APB可以嗎?

②.如果把題中的正方形ABCD改為Rt∆ABC,點P為動點可以嗎?

③你能總結點P的特征是什麼嗎?它唯一嗎?

④P為任意∆ABC内一動點,當PA PB PC取得最小值時,

∠APB=∠BPC=∠CPB=120°,這句話對嗎?

⑤在本題中你能尺規作圖找到點P嗎?

⑥在本題的計算部分需要二次根式的開方,有什麼技巧嗎?

例5.如圖4是A，B，C三個村子位置的平面圖，經測量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P為△ABC内的一個動點，連接PA，PB，PC．求PA PB PC的最小值．

分析:如圖，先由旋轉的性質得出△APC≌△EDC，則∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再證明∠BCE＝90°，然後在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的長度，即為PA PB PC的最小值；

【解答】如圖，将△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△EDC，連接PD、BE．

∵将△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△EDC，

∴△APC≌△EDC（旋轉的性質），

∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，

∴∠ACP ∠PCB＝∠ECD ∠PCB，

∴∠ECD ∠PCB＝∠ACB＝30°，

∴∠BCE＝∠ECD ∠PCB ∠PCD＝30° 60°＝90°，

在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，

∴由勾股定理可求得BE＝√41，

即PA PB PC的最小值為√41；

例6.如圖，在等邊三角形ABC中，點P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，猜想PA，PB，PC三條線段之間有何數量關系，并說明理由．

【解答】結論：PA² PB²＝PC²．

理由：證法一：如圖，将△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′．

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′B＝90°，∴PP′² P′B²＝P′B²，

∵PP′＝PA，CP＝P′B，∴PA² PB²＝PC²．

證法二∵将△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，連接PP′．

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∴PP′² P′C²＝PC²，

∵PP′＝PA，CP′＝PB，∴PA² PB²＝PC²．

第6題的變式，如圖，在等邊三角形ABC中，AC＝，點P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面積．

【解答】 如圖，∵将△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝√3/2PC，即AP＝√3/2PC，

∵∠APC＝90°，∴AP² PC²＝AC²，

即（√3/2PC）² PC²＝（√7）²，∴PC＝2，∴AP＝√3，

∴S△APC＝1/2AP•PC＝1/2×√3×2＝√3；

例7．如圖，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點A，D為兩個出口，現在想在貨運廣場内建一個貨物堆放平台P，在BC邊上（含B，C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？（結果保留整數）

【分析】先确定出最小值時的位置，當M，P，P1，D1在同一條直線上時，AP PM DP最小，最小值為D1N，再用等邊三角形的性質計算．

【解答】如圖，連接AM，DM，将△ADP繞點A逆時針旋轉60°，得△AP′D′，

當M，P，P′，D′在同一條直線上時，AP PM DP最小，最小值為D′N，

∵M在BC上，∴當D′M⊥BC時，D′M取最小值，

設D′M交AD于E，∵△ADD′是等邊三角形，∴EM＝AB＝500，

∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣400√3/3，

∴D′E＝√3/2AD＝400√3，∴D′M＝400√3 500，

∴最少費用為10000×（400√3 500）＝1000000（4√3 5）萬元；

∴M建在BC中點（BM＝400米）處，點P在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500﹣400√3/3）米處，最少費用為1000000（4√3 5）萬元．

例8.①如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一點P，請在圖3中畫出并指明長度等于PA PB PC最小值的線段（保留畫圖痕迹，畫出一條即可）；②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當PA PB PC值最小時PB的長．

【分析】①将△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接PE、DE，則線段BD即為PA PB PC最小值的線段；

②當B、P、E、D四點共線時，PA PB PC值最小，最小值為BD．先由旋轉的性質得出△APC≌△DEC，則CP＝CE，再證明△PCE是等邊三角形，得到PE＝CE＝CP，然後根據菱形、三角形外角的性質，等腰三角形的判定得出BP＝CP，同理，得出DE＝CE，則BP＝PE＝ED＝1/3BD．

【解答】①将△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接PE、DE，

則線段BD等于PA PB PC最小值的線段；

②如圖，當B、P、E、D四點共線時，PA PB PC值最小，最小值為BD．

∵将△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，

∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°，

∴△PCE是等邊三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．

∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝1/2∠ABC＝30°，

∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，

∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，

同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．

連接AC，交BD于點O，則AC⊥BD．

在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，

∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×√3/2＝2√3，

∴BD＝2BO＝4√3，∴BP＝1/BD＝4√3/3．

即當PA PB PC值最小時PB的長為4√3/3．

故答案為：4√3/3．

小結：題目中遇到公共端點的三爪（多）圖時，旋轉是它的克星利器，通過旋轉把分散的條件（線段或角）整合在一個三角形内解決。旋轉時明确旋轉中心和旋轉角。因此當我們再遇到類似問題時，首先考慮旋轉來解決。

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