準備好拜倒在

本女皇的裙下了嗎？

今天，小天說起數學女皇時，超模君覺得顯擺的時候到了，“不就是數論嘛！”，随手翻開身旁一本書——《數論妙趣》！！！

▼▼▼來來來，一窺數學女皇的真容▼▼▼

說起數論，這是一個很神奇的學科——因為它的内涵會因不同的人而變得簡單或複雜。

對于小學生而言，數論就是整數、小數、分數和加減乘除，理解起來不費吹灰之力。

對于數學大家們而言，數論卻是諸如費馬定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等複雜而神秘的問題。一個不小心，到死也不知道答案。

那麼，數論究竟是如何發展起來的呢？别着急，拿好小本本，待超模君給大家一一道來！

數論的起源，要追溯到古希臘時期。那時人們在擁有“數”的概念之後，自然而然地就會接觸到一些“數”的性質。而第一個研究這些“數”的性質的學者，是古希臘一位著名的哲學家——畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯：生得早就是好，什麼事情都先講我

畢達哥拉斯和他的學派秉承着“萬物皆數”的哲學思想，為了研究眼前的世界，他們精力都放到了對正整數的研究上。（注意，畢達哥拉斯所指的“數”，隻限于正整數）

他們将正整數分為奇數和偶數，研究了奇偶數之間四則運算的規律，還提出了“親和數”、“完全數”等概念，并給出了“220”和“284”這對親和數。

所謂的“親和數”，是指一對正整數，它們各自的全部約數之和（本身除外）與對方相等。畢達哥拉斯曾說：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。”至于“完全數”，則是指一個正整數，它的全部約數之和（本身除外）等于它本身。第一個完全數是6，第二個完全數是28，第三個完全數是496。

但是畢達哥拉斯對正整數的研究，還出于占蔔等宗教活動的需要，因此具有較為濃厚的宗教神秘色彩，沒有嚴格的概念定義和數學論證——不過這個缺點，在後人的著作中得到了彌補。

歐幾裡得是畢達哥拉斯之後，把對正整數的研究繼續往前推進的古希臘學者。

歐幾裡得：結果爛攤子還是要我來收拾……

在自己的著作《幾何原本》中，歐幾裡得首次給出了因數、倍數、素數、互素等基本概念的精确定義，并對所得到的結論進行了詳細的證明，從而使數論的研究嚴密化。

《幾何原本》中，歐幾裡得提出了一些很重要的量化定理，比如說“完全數定理”：

如果2^n-1是素數，那麼2^（n-1）·（2^n-1）是完全數。

後來的數學家歐拉證明了這個定理，并且據此給出了所有的偶完全數。

當然，歐幾裡得對數論的貢獻并不止使數論的研究嚴密化，還有發現素數在整數理論中的重要價值和基礎地位。他不僅證明了關于自然數和素數之間的積性關系，還運用歸謬法證明了素數個數的無窮性，提出了計算最大公約數的算法——輾轉相除法。

輾轉相除法：設兩數為a、b(a≥b)，求a和b最大公約數 （a，b）的步驟如下：(1)用a除以b(a≥b)，得 a/b=q……r1 。(2)若 r1=0，則（a，b）=b；(3)若 r1不等于0，則再用b除以 r1,：b/r1=q……r2。(4)若 r2=0，則 （a，b）=r1；若 r2不等于0，則繼續用 r1除以 r2，......，如此下去，直到能整除為止。其最後一個餘數為0的除數即為 （a，b） 的最大公約數。

歐幾裡得的研究，形成了初等數論的雛形，同時也提出了一個貫穿初等數論的命題：素數的普遍公式——同時，這個命題也直接催生了解析數論。

現在，讓我們的目光繼續跟着時間來走吧。在歐幾裡得之後，另一位數學家丢番圖，為初等數論開拓了一片新領域——不定方程問題。

所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。丢番圖将自己的研究寫成了一本書——《算術》，而這本書也開啟了中世紀的初等數論研究。

值得一提的是，在丢番圖提出不定方程問題的同時期，中國也挖掘了數論的另一個領域——同餘理論。《孫子算經》裡面記載的“物不知數”問題，就涉及到了同餘理論的研究。而宋朝秦九韶所提出的“大衍求一術”，則是比後來的高斯早了幾百年，提出了具體且完備的求一次同餘式組的方法。

所以說，中國古代在數論的研究上，也是輝煌一時啊。

好了，讓我們的視線再回到歐洲。在丢番圖之後，初等數論研究的大旗，就傳到了一位“業餘”的數學家——費馬的手上。（怎麼又是您老人家……）

費馬：真是不好意思，興趣愛好廣泛就是這樣的

費馬對于初等數論的研究兼有歐幾裡得和丢番圖的影子。他一生提出了形形色色的定（cai）理（xiang），最著名的莫過于“費馬大小定理”：

費馬小定理：如果p是素數，a與p互素，那麼a^p-a可以被p整除。費馬大定理：方程x^n y^n=z^n對于任意大于2的自然數n無整數解。

這兩個定理皆是在費馬閱讀丢番圖的《算術》時所提出的，尤其是費馬大定理，基本上延續了丢番圖從不定方程來發展數論的思想。但是費馬的其他猜想，卻也有歐幾裡得的影子，如他給出的“費馬數”（一種“素數的普遍公式”）：

與歐幾裡得對“完全數定理”的描述極為相似。可以說，初等數論在費馬手裡，隐隐表現出一種成為一個體系的趨勢。

但遺憾的是，這種趨勢并未成為現實。費馬之後的歐拉，盡管推翻了“費馬數”的結論（“費馬數”即為素數的普遍公式），證明了費馬小定理的正确性，并在《代數指南》中使用“無限下降法”，使之成為數論研究中很重要的方法技巧之一，卻依舊未能将衆多理論統一起來，使初等數論成為一個完備的理論體系。

在18世紀快要結束的時候，數學家們發現，初等數論的研究似乎已經走到了盡頭：整數數域的性質已經被研究得差不多了，接下來該怎麼辦？

一位天才的出現，讓數論的研究從死胡同中走了出來，他就是德國的數學王子——高斯。

高斯：終于輪到我出場了

而讓高斯帶領數論走出“死胡同”的，是他對于“二次互反律”的研究。

二次互反律，是一個用于判别二次剩餘，即二次同餘方程之整數解的存在性的定律。

高斯非常欣賞這個定律，他一生中至少給這個定律作了8種完全不同的證明，并且試圖将它推廣到三次和四次互反律。

但是經過研究後，高斯發現，如果要使三次和四次的剩餘理論和二次剩餘理論那樣簡潔優美，裡面所涉及到的數就必須超出整數的範圍，引進複整數（即形如a bi，其中a、b均為整數的複數）。

經過一番思考與研究之後，高斯決定将複整數引入到數論的研究當中，并且驚奇地發現，一些初等數論裡面的定理，在複整數中依舊成立。如在初等數論中，每一個整數都能夠唯一地分解為素因子的乘積，這個定理依舊在複整數中成立。

如此一來，高斯打破了初等數論的困境，将數論帶到了一個更廣闊的天地——複整數中來。

在高斯之後，庫默爾和戴德金将高斯的研究成果成功地推廣為一個全新的數論——代數數論。

庫默爾

戴德金

在代數數論中，研究的對象從正整數變成了代數整數。關于一個數是不是代數整數，代數數論是這樣定義的：

如果α是一個有理數多項式：

的根，則稱α為一個代數數。若P(x)的系數都是整數，則稱α為一個代數整數。

除去代數整數，代數數論的研究對象還有代數數域。

關于代數數論是如何具體研究的，超模君就不展開講了，不過模友們需要了解的一點是：直到1898年，德國數學家希爾伯特在對各代數數域的性質加以系統總結和發展後，前後經過了百多年的時光，經典代數數論才真正定型。

相比起初等數論，代數數論無疑涵蓋更廣，而且系統性更強，這是代數數論工作者們最值得自豪和被稱贊的地方。

如果說代數數論是數論廣度的一個拓展的話，那麼解析數論可以說是對于數論研究方法的一次革新了。

解析數論的源頭，可以上溯到歐拉。

歐拉：終于可以露臉了

早在1737年的時候，歐拉在研究無窮級數和無窮乘積的收斂性時，發現對于大于1的實數s，有等式：

其中無窮乘積中p是所有素數，這個等式揭示了素數p和自然數n之間的積性關系，也就是歐幾裡得所曾經證明過的，而且如果令s=1，則可以得出素數是無限多個的結論。這是數論第一次與解析形式相關聯起來的例子。

在歐拉之後，狄利克雷也做出了相類似的成果。他運用類似的方法，構建了一批新函數L，從它們的解析特性中，得到了這樣的結果：若l與k為互素的正整數，則算術級數l，l k，l 2k……中一定有無限多個素數。

在歐拉和狄利克雷為解析數論打好基礎以後，1859年，有一個人發表了一篇文章，正式宣告解析數論的創立。

這個人，就是黎曼。

在這篇論文中，他把歐拉恒等式的右邊記作

，并将其看做複變數。他認為，素數的性質可以通過複變函數

來探讨，如素數的分布研究關鍵是研究複變函數

的零點性質。而現在依舊沒有解決的“黎曼猜想”，就是對複變函數

零點性質的一個猜想——

所有的複零點都在直線Re s=1/2上。

黎曼的論文，讓解析數論開始了迅猛的發展。1896年，阿達馬和瓦萊普桑，根據黎曼的方法與結果，應用整函數理論，成功地證明了素數定理，讓解析數論成為了二十世紀最活躍的數論分支之一。

整函數，即在整個複平面上處處解析的函數。

解析數論在中國的發展也是極為迅猛。從最早的楊武之先生，到後來的華羅庚先生，王元先生以及陳景潤先生，都在解析數論上有非常卓越的貢獻。單講陳景潤先生，他對于{1，2}的證明，就是運用解析數論的方法來完成的，是目前世界上最好的證明結果。

解析數論的創立，讓很多初等數論中很難證明的定理變得簡單，同時可以提出更多新的數論問題，讓數論這門學科的生命力得以延續。

好了，這就是有關數論曆史的大體輪廓了。不得不說，想在短短的一篇推送裡塞下整個數論的曆史，簡直就是癡心妄想……（然而還是做到……了？）

不過數論本身還是很精彩的，套用一句高斯的話：“如果說數學是科學的女皇，那麼數論就是數學中的女皇”。大家不妨花點心思，來領略一下數論女皇的絕美身姿吧！

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