線性代數複習串講?特征值與特征向量通過相似矩陣的概念，在不同的基下，兩個相似矩陣表示相同的線性變換這并沒有告訴我們如何選擇向量空間的基，使得線性變換具有比較簡潔的矩陣表示例如，對角線矩陣，接下來我們就來聊聊關于線性代數複習串講?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

線性代數複習串講

特征值與特征向量

通過相似矩陣的概念，在不同的基下，兩個相似矩陣表示相同的線性變換。這并沒有告訴我們如何選擇向量空間的基，使得線性變換具有比較簡潔的矩陣表示。例如，對角線矩陣

類似于矩陣。

但很顯然，比相比要簡單得多。

特征值和特征向量定義背後的目的之一，是為了給我們提供挑選好的基礎的工具。盡管如此，理解特征值和特征向量還有許多其他原因。

定義 令是一個線性變換。那麼非零向量是的特征向量，标量是相應的特征值，若滿足以下等式：

如果對于矩陣，非零列向量将是具有特征值的特征向量，若滿足

從幾何的角度來理解，線性變換對其特征向量進行了對應特征值的線性拉伸。如

幸運的是，有一種簡單的方法來描述平方矩陣的特征值，這将允許我們看到矩陣的特征值在相似變換下保持不變

命題 标量是方陣的特征值，當且僅當其是以下多項式的根

多項式稱為矩陣的特征多項式。

定理 設和為相似矩陣。那麼，A的特征多項式等于B的特征多項式。

因為相似矩陣的特征多項式是相同的，這意味着特征值必須是相同的。

推論 相似矩陣的特征值相等。

如果要判斷兩個矩陣是否相似，可以通過計算來查看這些特征值是否相等。如果不是，則矩陣不相似。

通常情況下，具有相等的特征值并不強迫矩陣彼此相似。例如，矩陣和矩陣都有特征值1和2，但它們不相似。

由于特征多項式在相似變換下不變，因此的系數在相似變換下也不變。但由于的系數本身就是矩陣A的項的（複雜）多項式，我們現在有了A的項的某些特殊多項式，它們在相似變換下是不變的。我們已經看到其中一個系數以另一種形式出現，即A的行列式，如下定理所示。該定理将更重要地将A的特征值與行列式聯系起來。

定理 設是矩陣的特征值，并多重計數，那麼

這裡，我們需要讨論“多重數”計算特征值的思想。困難在于多項式可以有一個必須不止一次計數的根（例如，多項式有一個我們想要計數兩次的單根2）。這可能發生在特征多項式上。例如，假設矩陣的特征多項式為對于上述定理，我們将特征值列為4、5和5，然後将特征值5計算為兩次

最後回到确定表示線性變換的“好”的基上來。良好的度量是矩陣與對角矩陣的接近程度。我們将把自己限制在一個特殊但非常普遍的類别：對稱矩陣。

定理 如果是對稱矩陣，那麼有一個與類似的矩陣，它不僅是對角的，而且沿着對角線的各項正好是的特征值。

對于非對稱矩陣，還有其他尋找“好的相似矩陣”的标準方法，如Jordan标準形式、上三角形式和有理标準形式。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!