在三角形中三個角 α β γ=180°，若下列等式成立：
證明該等式是α，β，γ中有一個角為90度的充分必要條件。
證明1： 若滿足給定等式的必要條件很容易證明，假如α=90°，那麼有
必要條件證完。
現在證明充分條件：即有已給的餘弦平方和等于1，證明有一個角是90度。
這裡要用到三角的倍角公式：
将等式
進行重組：
利用倍角公式轉換為：
接着前兩項再用和差化積公式：
有:
由于三角形三角之和有α β γ=180°，所以cosγ=−cos(α β), 帶人後提取公因式：
cosγ (cos(α−β)−cosγ)
= cosγ (cos(α−β) cos（α β）)
而後面括号中的式子利用和差化積公式cos(α−β) cos(α β)=2 cosα cosβ可知：
cosγ cosβcosα=0
由此得知三個因子中必須有一個為零，假如cosβ=0， 那麼β=90°
這樣證得充分條件是成立的。
證法2；必要性證明：不失一般性設α=90°，
在前面本人一篇文章直角三角形的充分必要條件是三個角的正弦平方和是2.有證明：
所以
下面證明相反的，即充分條件，假設d是三角形外接圓的直徑，
結合下面圖形，請讀者自己理解推導過程：
由此推出A， B， C中有一個角為90度。
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