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散度梯度旋度
散度梯度旋度
科技
更新时间:2025-04-03 11:17:48
散度梯度旋度?,接下來我們就來聊聊關于散度梯度旋度?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!
散度梯度旋度
大家都知道,路程(S)、速度(V)和加速度(a)之間的關系。同時也知道,S的一階導樓等于V;V的一階導數等于a或S的二階導數等于a。通俗講,就是單位時間内S的變化率是V,V的變化率是a。如把S假設為
父級
層面的量,則V就是
子級
層面的量,a就是
孫級
層面的量。總之,速度和加速度均是用來描述單位時間内某個量變化快慢的“測度”。從極限定義來看,因為點是幾何上最小的表達符号,所以,加速度再對時間進行求導,就不具有物理意義了。如果有的話,也是數學邏輯運算上的需要。
梯度(grad)
某種程度上講,可以理解為是速度的廣義表達。都是矢量。如把速度描述成是研究函數在一點P沿着X軸、Y軸或Z軸等指定方向的變化率的問題,那麼,梯度則是研究函數在點P沿着某方向産生
最大變化率
的問題。當軸到任一方向L的轉角為0或∏/2時,梯度問題就變成速度問題了。從方向導數的一般表達式推導可知,最大的方向導數與梯度的方向是一緻的,或者說,函數Z在P點變化最快的方向就是最大的方向導數的方向。因此,可以把梯度看作是描述某個量變化率問題的一個“線測度”。對于一般的二元函數或三元函數,我們可以通過幾何作圖法找出最大的方向導數方向。對于二元函數Z= f(x ,y)在點P(x ,y)的最大方向導數方向為過點P的等高線f(x ,y)=c(常數)在這點的法線方向且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線;對于三元函數U=f(x ,y,z)的最大方向導數的方向為過點P等量面f(x ,y,z)=c(常數)在這點的法線方向且從數值低的等量面指向高的等量面。
散度(div)
可以通俗理解為單位時間内單位體積某個量所産生的變化量。它是用來描述體積膨脹或收縮的一個“體測度”且是個标量。對于穩定流動的不可壓縮流體,散度可以表達為在某個M點的源頭強度——在單位時間内單位體積内所産生的流體質量或流失的質量。它通常由高斯公式通過某點鄰域内的通量來求得,即向量場A的散度對于空間區域Ω的體積積分等于向量場A通過曲面Σ(空間域Ω的邊界曲面)向着指定側面的通量(或流量)。
旋度(rot)
顧名思義,是和旋轉聯系在一起的。它是個矢量,其方向符合右手螺旋法則。它是 用來描述流量強度的一個指标。通俗點理解,也不妨認為是描述單位時間内單位面積指标所産生的變化量,是衡量面積擴大或縮小的一個“面測度”。它可以通過某點鄰域的環流量來計算,即:向量場A的旋度通過Γ所張的曲面Σ的通量等于向量場A沿有向曲線Γ的環流量。
梯度、散度和旋度,簡稱“三度”,在電磁學上得到了完美應用。麥克斯韋方程組就是很好的例證。麥克斯韋在引入渦旋電場和位移電流兩個重要概念之後,将靜電場環流定律修改為電場強度E的環流不為零,而是等于位移電流的負值;把安培環流定律修改為全電流環路定律。同時,他認為靜電場中的高斯定理和磁場中的高斯定理,不僅适用于靜電場,而且還适用于一般的電場和磁場。于是, 将四個以積分形式表達的基本方程式組合在一起,統稱為麥克斯韋方程組。依照三度的定義,我們可以寫出麥克斯韋方程組的三度表達式,即:rotH=J ЭD/Эt ;rotE=- ЭB/Эt ; divB=0;divD=ρ。其中H為磁場強度,E為電場強度,D為電感應強度(電位移矢量),B為磁感應強度,J為傳導電流的面密度,ρ電荷的體密度。
梯度是由标量函數得到的矢量函數;散度是由矢量函數得到的标量函數;旋度是由矢量函數得到的矢量函數。因此,從中我們可以推導出:梯度的旋度為0;旋度的散度為0.即梯度無旋,旋度無散。
參考文獻:1、《高等數學》同濟大學主編;2、《物理學》南京工學院主編;3、《數學物理方程與特殊函數》南京工學院主編
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