假如粒子研究不能适合空間和時間，那麼它整個目的就失敗了，我們就不知道它的作用究竟是什麼。——薛定谔

薛定谔方程在量子力學中的地位相當于牛頓第二定律在經典力學中的地位，二者描述的都是事物的運動變化。

牛頓第二定律是表述質點運動的微分方程F=m(d²x/dt²)，而薛定谔方程是描述波函數變化的偏微分方程，它最簡單的形式是不含時勢（時間和勢能）的表達式（-ℏ²/2m）∂²ψ/∂x²=Eψ。

薛定谔

方程的由來

當位置波函數ψ(x)确定之後，根據其系數可以求出動量波函數ψ(p)，從而引出不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2（上一篇内容）。在經典力學中，已知位置和動量，就可以計算一切運動變化，但對于量子力學，還剩下最重要的一個量——能量，它是質點運動唯一可以保持不變的量。為了确定粒子能量的概率波函數ψₑ(x)，于是構造了薛定谔方程。

文章導圖

能量波函數

在牛頓力學體系中，已知x和p，則不用再單獨進行能量的計算，因為有動量—能量公式E=p²/2m。而微觀粒子的能量必須具有概率诠釋，根據求動量波函數的方法，可知能量的概率波函數需滿足：

ψ(x)=∑Aₑψₑ(x)

Aₑ=∫ ψₑ*(x)ψ(x) dx

接下來最重要的一步就是合理的假設與猜測，為了求解能量波函數，薛定谔根據經典的關系式E=p²/2m，大膽地構建了一個自由粒子的方程：

（-ℏ²/2m）d²ψ/dx²=Eψ

通過解上述方程得到了能量的概率波函數：

ψₑ(x)=Ae^-i(p/ℏ)x Be^-i(p/ℏ)x，其中p=√2mE。

方程的解很好的符合了實驗測量結果以及玻爾的能級理論，根據動量隻能取離散值p=2nπℏ/L，便可得到能量也隻能取分立值E=(2nπℏ/L)²/2m。

束縛于諧振子勢阱的八個不同能級的能量本征波函數(n=0~7)

薛定谔方程

我們的任務不是去發現一些别人還沒有發現的東西，而是針對所有人都看見的東西做一些從未有過的思考。——薛定谔

下一個的核心問題是波函數如何随時間變化，也就是把時間加入到概率波函數之中，将ψₑ(x)變為ψₑ(x,t)。薛定谔認識到，首先要建立關于波函數的波動方程，并在時間過程中追蹤概率波函數的改變，形式變化需要符合系統的測量結果。經過不斷地嘗試，在1926年，薛定谔終于得出完整的方程，揭開了量子世界的基本規律。

含時薛定谔方程

薛定谔方程同波函數一樣，都是量子力學的基本假設，無法從理論上證明，它的正确性也隻能從實驗檢驗。需要明确的是，方程本身是完備的，不存在随機性，也沒有任何信息的丢失，隻有引入測量時，方程才會随機坍縮為一個可能的解，正因為如此，可能性極小的量子隧穿才會發生，一切才皆有可能。

上一篇三分鐘讀懂量子力學：什麼是不确定性原理，下一篇三分鐘讀懂量子力學：什麼是量子隧穿。

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