這是2021年湖南湘西土家族苗族自治州的中考數學壓軸題，是一道抛物線上求“線段和”的最小值，以及平行四邊形的存在性問題。老黃現在解這類題目，已經可以說是爐火純青，已臻化境了。希望你也能輕松解決，遠超老黃！

如圖，已知抛物線y=ax^2 bx 4經過A(-1,0), B(4,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求抛物線的解析式；

(2)連接BC，求直線BC的解析式；

(3)請在抛物線的對稱軸上找一點P，使AP PC的值最小，求點P的坐标，并求出此時AP PC的最小值；

(4)點M為x軸上一動點，在抛物線上是否存在一點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐标；若不存在，請說明理由.

分析：題目隻給了抛物線的圖像，因此作圖的能力也是這道題考查的能力之一。

(1)求抛物線的解析式，就是求函數的兩個參數。已知抛物線與橫軸的兩個交點的坐标，這種情況下，老黃推薦運用韋達定理。

(2)求直線的解析式，題意自然是要求用待定系數法的。但老黃建議直接用兩點坐标的斜率公式求斜率，再用斜截式，直接寫出BC的解析式。

(3)這道小題其實有三個要求。①在圖中作出P點；②求P點的坐标；③求AP PC的最小值。因為P點在對稱軸上，而A，B關于對稱軸對稱，所以PA＝PB，因此AP PC=BP PC，當B，P，C在同一直線上時，得到最小值。所以P點在BC和對稱軸的交點上。P點的橫坐标是x=3/2，代入BC的解析式就可以求得P點的縱坐标。

然後用兩點的距離公式求BC的長。當AP PC=BC時，就最短。

(4)分成三種情況：①AC是對角線時，AC的中點就是MN的中點，AC中點的縱坐标易求，N點的縱坐标就可以知道，從而求出N點的橫坐标；②AC是邊，CN也是邊時，CM的中點就是AN的中點，列式和①完全相同；③AC是邊，CM是邊時 ，CN的中點就是AM的中點，由縱坐标的關系，也可以求得N的坐标。這裡運用的是平行四邊形對角線互相平分的性質。而橫坐标不用考慮，是因為M點的橫坐标是任取的，總能取得滿足條件的M點。

下面組織解題過程：

解：(1)由4/a=-4，得a=-1；【兩根積等于c/a】

由-b/a=-1 4，得b=3；【兩根和等于-b/a】

∴抛物線解析式為：y=-x^2 3x 4.

(2)C(0,4)；k=-4/4=-1，∴直線BC的解析式為：y=-x 4.

(3)如圖，點P是BC與抛物線對稱軸的交點，

當x=3/2時，y=-3/2 4=5/2，∴P(3/2,5/2).

當AP PC=BC=4根号2時，最小.【三角形AOB是等腰直角三角形】

(4)可設N(n,-n^2 3n 4)，

當AC是對角線時，-n^2 3n 4=4，解得n=3或n=0(舍去)；

當AC，CN是邊時，同上；

當AC，CM是邊時，-n^2 3n 4=-4；解得n=(3±根号41)/2.

∴N(3,4)或N((3 根号41)/2,-4)或N(((3-根号41)/2,-4)).

第(4)小題的一般解法是通過觀察形成平行四邊形的圖形，來分類讨論的。出題人應該也是這個意圖的。但請看下面的圖形，問你看着暈不暈。

可見，掌握老黃解決這類問題的方法，有多麼重要！

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