高考立體幾何的小題裡，外接球的問題被很多學生認為是一個難點。今天這節課我們就來把這類問題一次性研究清楚。你會發現，原來“難點”并不難，很可能隻是自己在關鍵點的把握上始終似是而非，才一直為難下去。

題目說“一招解決”，不誇張，真的就是一招，這招就是高中課本中的那個定理：

球的任一截面圓心和球心的連線垂直于該截面。反之，球心在球的任一截面上的射影是該截面的圓心。

這個有點類似于初中學的平面幾何“垂徑定理”的定理，可以衍生出很多的結論。這些結論不需要記住，而是要理解。

對于小圓（球的不過球心的截面）和它的任意一個内接三角形，内接三角形的外心即小圓的圓心。

所以我們知道，球心必然在過内接三角形外心、垂直于内接三角形所在平面的直線上。也就知道，對于一個球内接幾何體，它的各個面過外心的垂線必然交于一點，這點就是球心。

例1. 已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC 是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC = 2，則此棱錐的體積為 ___ ．

分析：SC為球O的直徑，O是SC的中點，由點O在過△ABC外心且垂直于底面ABC的直線上，知點S到底面ABC的距離等于點O到底面ABC的距離的2倍，且後者很容易就求到。

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具體解決數學問題時，有如下方法：

一是球心在一個面過外心（這裡不限于指三角形外心了，而是拓展為到平面内各頂點距離相等的點）的垂線上。作出這條垂線，在其上設出球心，根據球心到各頂點距離相等，列方程求解。例如我們常見的棱錐外接球問題。

例2. 高為2^(1/2)/4的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、 D均在半徑為1的同一個球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為 ___ ．

如果是直棱柱，其實問題一樣，隻不過是變成了球心在上下兩平行底面的過外心的共同垂線上。（圓柱的情況下，外心就成底面圓心了。）

例3. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長為３，則這個球的體積為 ___ ．

特别地，當直棱柱的上下底面是正方形，問題就變成了我們熟悉的長方體外接球問題。此時體對角線為外接球直徑，d=2R=(a b c)^(1/2)。

當一個三棱錐的某頂點處三條棱兩兩垂直（“牆角”型）時，也可以“補形”成長方體來處理。甚至更廣泛的條件下，也可以構造長方體來處理。

例4. 已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB垂直于平面BCD，BC垂直于DC，若AB=6，AC=2·(13)^(1/2)，AD=8，則B、C兩點間的球面距離是 ___ ．

分析：可以構造一個以A、B、C、D為頂點，AD為體對角線的長方體。

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二是球心直接由兩個面過外心的垂線的交點得出。

還是上面給出的例4.

分析：球心是過直角三角形ABC外心（即AC中點）和直角三角形BCD外心（即BD中點）的垂線的交點。

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還是第一節課說的那個道理：“萬變不離其宗”。接住高考數學裡的外接球問題，看起來很多招，“直接法”、“構造法”……其實本是一招。

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