何為本手？

用一種自然的、簡單的、合乎邏輯的方式找到解題的思路即為本手。

（廣州2022）25題：

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD

（1） 求BD的長

（2） 點E為線段BD上的一動點（不與點B、D重合），點F在邊AD上，且 BE = DF

① 當 CE ⊥ AB 時，求四邊形ABEF的面積

② 當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE CF 的值是否也最小？如果是，求CE CF 的最小值；如果不是，請說明理由

第一步：理解題目

确保你已經完全熟悉并理解了題目的要求和要證明的結論。

理解題幹，已知什麼？（在圖上做出标記）

首先，做一個整體直觀的思考：

根據已知條件，四邊形ABCD是菱形，邊長為6，∠DAB=120°，若連接AC的話，該菱形是由兩個等邊三角形構成。這是一個完全确定的特殊圖形，理論上講，關于該圖形的任何特征值都可以計算得出。

根據菱形的性質不難得到：

（Ⅰ）AC⊥BD，且AC是∠DAB和∠DCB的角平分線，BD是∠ADC和∠ABC的角平分線

（Ⅱ）由于∠BAD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，不難得到△ABC和△ADC均為等邊三角形

第二步：分析題目，尋求解題思路。

（1）求BD的長

盯住目标：

求BD的長。

由上述（Ⅰ）和（Ⅱ）的分析可知，BD為等邊三角形ABC高的2倍，邊長為6的等邊三角形，不難算出高為 。故BD= 。

（2）點E為線段BD上的一動點（不與點B、D重合），點F在邊AD上，且 BE = DF

① 當 CE ⊥ AB 時，求四邊形ABEF的面積

盯住目标：

求四邊形ABEF的面積

觀察圖形，你能想到什麼？

如圖，顯然， = -

如下圖，連接AE，設CE交AB于點G

比較容易求（就是等邊三角形的面積）

那麼 如何求呢？（關鍵是求DF邊上的高）

由于CG⊥AB，BO⊥AC，由等邊三角形中三線合一的性質，可得CG、BD也分别是角平分線則AE也是∠CAB的平分線，故∠EAC=30°，所以∠DAE=60° 30°=90°，AE是△DEF的高。

如下圖，不難得出 AE = BE =

結合已知條件 BE = DF，可得 DF = 2

因此可求 為 ，從而求出為

②當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE CF 的值是否也最小？如果是，求CE CF 的最小值；如果不是，請說明理由

盯住目标：

當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE CF 的值是否也最小？

先看看當四邊形ABEF的面積取最小值時是什麼情況？

求面積的最值，你能想到什麼？

最直接的，構造一個面積的等式看看？

由前面的分析可知，

（三角形ABD的面積已知，因此隻需求三角形DEF的面積什麼時候最大即可。）

我們依然仿照之前的思路進行計算。

如下圖，過點E做EK垂直射線DA，垂足為點K

設DF = x，則BE = x，DE= - x，

∴EK = （因為角ADB為30度）

計算上述二次方程的最值：

當 x = 3 時， 最大，

此時 最小

當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE CF 的值是否也最小？

觀察一下，面積最小時的圖形。

當 x = 3 時，點F為AD的中點，點E為BD的中點，則CF⊥AD，CE⊥BD，

所以CF和CE都是垂線段，

此時 CE CF 最小（因為垂線段最短），

不難求得:

CE=3, CF= , CE CF = 3 9 = 12,

最小值為12

第三步：寫出解答

（略）

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