幾個世紀以來，人類最優秀的頭腦已經解決了一個又一個數學問題，但到目前為止，還有幾個問題沒有向任何人屈服。為了找到解決方案的算法，一些基金和公司準備支付大量資金。

其他名稱：3n 1 猜想、雪城問題、冰雹數。如果你取任何自然數 n 并用它進行以下變換，遲早你總會得到一個。偶數 n 必須一分為二，奇數 n 必須乘以 3 并加 1。對于數字 3，序列将是這樣的：3 × 3 1 = 10, 10: 2 = 5, 5 × 3 1 = 16, 16: 2 = 8, 8: 2 = 4, 4: 2 = 2 , 2: 2 = 1。顯然，如果從 1 繼續轉換，則循環 1、4、2 将開始。很快，計算中的步數開始超過一百，并且需要越來越多的資源來解決每個新序列。

近一個世紀前，在解決這個問題方面幾乎沒有進展，上個月才從字面上概述了這一點。然而，美國著名數學家陶哲軒隻是離他最近，卻始終沒有找到答案。Collat​z 假設是動力系統等數學學科的基礎，而動力系統又對許多其他應用科學（如化學和生物學）很重要。Syracuse 問題看起來是一個簡單、無害的問題，但這正是它的特别之處。為什麼這麼難解決？

另一個問題，其措辭看起來比蒸蘿蔔簡單——任何偶數（大于 2）都可以表示為兩個素數的和。而這正是現代數學的基石。對于小值，這個陳述很容易在心理上得到驗證：18 = 13 5, 42 = 23 19。而且，考慮到後者，我們可以很快理解問題的全部深度，因為 42 既可以表示為 37 5 和 11 31，也可以表示為 13 29 和 19 23。對于超過一千的數字，術語對的數量變得非常龐大。這在密碼學中非常重要，但即使是最強大的超級計算機也無法無限地叠代所有值，因此需要對所有自然數進行一些明确的證明。

這個問題是由克裡斯蒂安·哥德巴赫在 1742 年與另一位偉大的數學家倫納德·歐拉的通信中提出的。克裡斯蒂安本人以更簡單的方式提出了這個問題：“每個大于 5 的奇數都可以表示為三個質數的和。” 2013 年，秘魯數學家 Harald Helfgott 找到了這個選項的最終解決方案。然而，歐拉提出的這個說法的後果，被稱為“二元哥德巴赫問題”，仍然無人能及。

雙子座就是這樣的素數，隻相差 2。例如，11 和 13，以及 5 和 3 或 599 和 601。如果自古以來已經多次證明了一系列素數的無窮大，那麼孿生數的無窮大值得懷疑。從 2 開始，素數中沒有偶數，從 3 開始，沒有人可以被 3 整除的素數。因此，如果從系列中減去所有符合“除法規則”的值，則可能的雙胞胎數量會越來越少。求此類數的公式的唯一模塊是 6，公式如下所示：6n ± 1。

在數學中，如果問題沒有“正面”解決，就會從另一端解決。例如，2013年證明相差7000萬的素數是無限的。同時，相差不到一個月，差值就提高到了59 470 640，然後又提高了一個數量級——到了4 982 086。 目前，無窮大是有理論依據的一對質數相差 12 和 6，但相差僅 246。與其他此類問題一樣，孿生數假設對于密碼學尤其重要。

簡而言之，伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 提出質數在所有自然數集上的分布不遵守任何規律。但是它們在數值級數的給定區域中的數量與某些值在 zeta 函數圖上的分布相關。它位于更高的位置，并且對于每個人 s 給出無限數量的項目。例如，當 2 代替 s 時，結果是一個已經解決的“巴塞爾問題”——一系列平方反比 (1 1/4 1/9 1/16 …)。

“千禧年難題”之一，為解決該問題分配了100萬美元的獎金，以及進入現代數學“衆神”的萬神殿。事實上，這一假設的證明将大力推動數論向前發展，以至于這一事件将理所當然地被稱為曆史事件。數學中的許多計算和陳述都是建立在“黎曼假設”成立的假設之上的，至今沒有讓任何人失望。這位德國數學家在 160 年前就提出了這個著名的問題，從那時起，它已經被解決了無數次，但進展非常緩慢。

另一個“千年挑戰”，克萊研究所将為此提供一百萬美元的解決方案。對于數學家來說，至少在一般意義上很難表述和理解假設的本質是什麼。Birch 和 Swinnerton-Dyer 假設了橢圓曲線的某些特性。這個想法是可以通過知道的 zeta 函數的零階來确定曲線的等級。正如他們所說，沒有什麼是清楚的，但非常有趣。

橢圓曲線是圖形上看似無害的 y² = x³ ax b 形式的方程描述的那些線。它們的一些性質對代數和數論極為重要，解決這個問題可以極大地推動科學向前發展。最大的進展是在 1977 年由來自英國和美國的一組數學家取得的，他們能夠找到一個特殊情況下 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的證明。

這甚至不是一個，而是一整類類似的問題。此外，我們每天都會遇到它們，例如，當我們想在冰箱的架子上排列水果或将瓶子盡可能緊地排列在架子上時。從數學的角度來看，您需要找到每個球體與其餘球體的平均接觸次數（“親吻”，也稱為接觸次數）。目前有維度 1-4 和 8 的精确解。

尺寸或尺寸是指放置球的線數。在現實生活中，不會出現第三維，但數學也以假設值運行。這個問題的解決不僅可以大大推動數論和幾何學的發展，而且對化學、計算機科學和物理學都有幫助。

再說一遍，每天都會遇到一個問題。似乎很難——解開這個結？但是，計算此任務所需的最短時間是數學的另一個基石。困難在于我們知道可以計算解耦算法，但它的複雜性可能使得即使是最強大的超級計算機也需要太長時間。

2011 年，美國數學家格雷格·庫珀伯格 (Greg Kuperberg) 邁出了解決這個問題的第一步。在他的工作中，解開 139 個頂點的結構 108 小時縮短到 10 分鐘。結果令人印象深刻，但這隻是一個特例。目前，有幾十種不同效率的算法，但沒有一種是通用的。該數學領域的應用包括生物學，特别是蛋白質折疊過程。

最大的無窮大是什麼？乍一看，這是一個妄想的問題，但它确實是 - 所有無窮大的大小都不同。或者更确切地說，就幂而言，因為這就是數學中區分數字集的方式。基數被理解為集合中元素的總數。例如，最小的無窮大是自然數 (1, 2, 3, ...) 因為它隻包括正整數。這個問題目前還沒有答案，數學家們不斷地尋找越來越強大的集合。

集合的幂的特征在于它的基數，或簡稱為基數。有一個完整的在線百科全書，其中包含以喬治·康托 (Georg Cantor) 命名的無窮大和著名的“四肢”。這位德國數學家是第一個發現無數集合可以比彼此更大或更小的人。而且，他能夠證明不同無窮大的威力差異。

這兩個無理數之和是代數數嗎？數百年來，我們一直在使用這些常量，但我們從未了解它們的所有内容。代數數 - 具有整數系數的多項式的根。乍一看，似乎所有實數都是代數的，但不是，恰恰相反。大多數數是超越數，也就是說，它們不是代數數。此外，所有實數超越數都是無理數（例如 π 和 e），但它們的和可以是任意的。

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