我們現在所學的高等數學是這樣的一個體系，它由柯西在1821年初創，經過十數位數學家，曆時近一個世紀，到1902年勒貝格建立測度理論而宣告完善，最後，教科書中的表述形式則由20世紀30年代的布爾巴基學派奠定。撇開一些龐雜的理論叢林，我們抽出這個體系中關于微積分原理的部分，下面通過例3和例4來說明。

我們先介紹這個體系中最重要的一個概念——極限，它是一個确定的數a，如果有一個數的序列{xn}，随着n的增大，xn越來越接近a，以至于當n足夠大時，序列後面的數全都落在一個以a為中心的以ε為半徑的區間之内，我們就說這個序列的極限是a。寫成規範形式，即：

極限描述

極限定義

極限舉例

可以看出，這裡所說的極限是一個數，同時把我們頭腦中的極限過程（越來越接近）用不等式的方法給予表達，而且，這種表達确實可以形象地稱為"要多近有多近"。但是，隻要ε不為零，序列中的數和極限便不一定相等。這便是數學中極限的思想，它給出的是證明的方法，并沒有給出計算的方法，在實際運算過程中，我們需要憑直覺或其他方法猜出這個數，然後再證明之。

現行體系的導數與微分

導數與微分-1

導數與微分-2

導數的問題似乎解決了，那麼微分是什麼呢？書上說，微分ds是增量的線性部分，對于增量s，其線性部分即3t^2t，于是ds=3t^2t，然後認為微分dt就是t，于是ds=3t^2 dt。

這便是現行體系的微分和導數原理。在這裡，導數是一個極限，微分ds是增量的線性部分，而dt就是增量t自身，它們并不要求非常小，而可以是任意的有限量，即微分不微。

數學之美

對于函數s=s(t)，我們求出其導數v(t)和微分ds=v(t)dt，并直接稱s(t)為v(t)的一個原函數，由于s(t) C(C為任意的一個常數)的導數都是v(t)，于是它們都是v(t)的原函數，記作∫v(t)dt=s(t) C。

這便是現行體系中的不定積分。可以看到，它并沒有具體的計算方法，隻是給原函數起了一個新的名字——不定積分。多說一句，僅僅引入新的名字而沒有也沒有能力做深入的解釋，在計算上依然沿用萊布尼茨和歐拉所開創的方法，這是現行微積分體系的一個症結。

我們求曲線v=v(t)與坐标軸所謂的面積，即所謂的定積分。現行體系的方法是，

現行體系的不定積分與定積分

定積分-1

定積分-2

上述例3和例4反映了現行微積分體系的演繹思路，它相比于例1和例2所展示的演繹思路（萊布尼茨、歐拉等人的），顯得複雜而崎岖，同時也難以讓人一眼便指出荒謬之處。但這個體系并沒有真的解決第二次數學危機，并沒有徹底解決微分是什麼，到底是不是0的問題。除了給出了極限思想的數學表達，它更多的是對原有體系中概念的重新解釋和命名。我們對它的評價可以概括為，第一遮掩了微積分學科發展的根本矛盾，從而阻礙其發展；第二，由于避開直覺，核心概念形式化，導緻整個微積分學科的支離破碎。

那麼，究竟什麼才是正确的微積分原理呢？

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