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等角三角形和直角三角形度數

生活 更新时间:2024-07-28 13:18:59

問題:如圖,點P是正方形ABCD中的一點,且PA=PB,角PAB為15度, 求證三角形PCD為正三角形

這道題在網上廣為流傳,也有不少同好給出了幾種解答方案,有通過作若幹條輔助線求證的,有通過勾股定理來求解的,甚至有的直接計算15°的三角函數值來求解。看過的方法中最有創意的莫過于以AB為底邊,往上構建一個等邊三角形ABE,再連接EP ,通過系列三角形相似相等來推算角度,但任然非常繁瑣。其實根據特殊的條件(15°,等邊三角形等),我們可以考慮到更簡單的算法。下面就以反證法的思路來簡單證明此題。

等角三角形和直角三角形度數(利用弦切角和15度證明三角形PCD是等邊三角形)1

思路:看到15°的角,自然就會聯想到30°或60°的角。而本題已知∠PAB=∠PBA =15°,要求證三角形PDC為等邊三角形,即∠PDC=60°(三角形PDC是等腰三角形基本不用證明吧),于是∠ADP必須等于30°。而看到15°和30°,要不就想到三角形另一頂角的補角,或者就想到圓心角和圓周角(或弦切角)的2倍關系。而本題正方形的條件正好為圓心角提供了必要條件,再想到反證法,思路自然就打通了。

證明過程:

以D為圓心,DA為半徑做圓弧AOC,交過P點平行于AD的正方形平分線于O點(現在不能确定O是否就是P,目标就是要證明它就是P),為了方便解釋,連接 OA和OD,如下圖所示:

等角三角形和直角三角形度數(利用弦切角和15度證明三角形PCD是等邊三角形)2

很顯然,O到AD的距離等于OD的一半(正方形邊長),因此∠ODA=30°,故∠OAB=15°,所以O點就是P點,也即PD=DC得到證明。

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