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如何求三角形中的内切圓

生活更新时间:2025-02-07 16:22:44

一個三角形和内切圓的問題

孩子們在畫圖時經常為組合很多圖案，如圖，三個粉圓半徑相等，有兩個白圓與兩個粉圓内切于鑲嵌在直角三角形的正方形内，另外一個綠圓和粉圓都與三角形和正方形相切。若白圓半徑t, 大的氯圓半徑為R, 證明R=2t.

如何求三角形中的内切圓（一個三角形和内切圓的問題）1

證明：如圖虛線的小三角形利用勾股定理有，

如何求三角形中的内切圓（一個三角形和内切圓的問題）2

r2 (2r-t)2=(r t)2

由此解得r=3t/2 (1)

在三角形ABC中，利用面積的公式有

2S=r(a c 4r) (這裡用到的公式是三角形内切圓半徑和三角形三邊求圓的面積公式)

2S=4ra

所以a c 4r=4a

得出c=3a-4r

帶入勾股定理：

如何求三角形中的内切圓（一個三角形和内切圓的問題）3

解得a=3r, （2）

顯然c=5r,

這是一個有趣的三角形，符合勾三股四弦必五的直角三角形。

在下面的大的直角三角形也存在類似的關系，根據相似性可知：

按照（2）式類推:

4r=3R,

将（1）式的r=3t/2 帶入上式有：

R=2t

後記：有關3， 4， 5所構成的直角三角形無論是勾股定理還是其逆定理都是非常有名的。

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