#頭條創作挑戰賽#
如何證明連續的周期函數必有最大值和最小值？
連續的周期函數其實很常見，比如正弦函數，餘弦函數，都是連續的周期函數，它們都是有最大值和最小值的。不論是正弦函數還是餘弦函數，它們都有最大值1和最小值-1. 反之如正切函數、餘切函數、正割函數和餘割函數，都是不連續的周期函數，它們要麼沒有最大值，要麼沒有最小值，或者幹脆既沒有最大值也沒有最小值。
不過單憑一些特殊的例子，以及我們的想像力的發揮，是不能得到“連續的周期函數必有最大值和最小值”的定理的。想要成為一個數學定理，就必須要進行嚴密的證明。那麼，應該怎麼證明這個定理呢?
設f為R上連續的周期函數. 證明：f在R上有最大值與最小值.
證：設f的周期為T，∵f在[0,T]上連續，【這個周期函數是具有任意性的】
∴有最大值f(M)和最小值f(m)，M,m∈[0,T].【在一個周期的閉區間上，下面稱[0,T]為第一個周期，符合連續函數在閉區間上的最值定理，即連續函數在閉區間上既有最大值，也有最小值】
任給x∈R，則存在某整數k，使x∈[kT,(k 1)T]，【任何一個實數，都能找到一個周期閉區間，包含這個實數】
∴x-kT∈[0,T]，從而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，【把上面的周期閉區間平移，使之與第一個周期重合，實數x的函數值與對應x-kT的函數值相等。從而得到“任意函數都在第一個周期的最大值和最小值之間”的結論】
∴f(M)=max(xϵR){f(x)}, f(m)=min(xϵR){f(x)}, 即【因此第一個周期的最大值，就是函數的最大值，第一個周期的最小值，就是函數的最小值】
f在R上有最大值f(M)與最小值f(m).【由f的任意性得證】
這就證明了：任何連續的周期函數必有最大值和最小值。你喜歡這個證明嗎？
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