數學歸納法原理

我們聽說你喜歡小狗。我們很确定你兩邊的鄰居都喜歡小狗。正因為如此，我們可以假設世界上每個人都喜歡小狗。這似乎有點牽強，對吧?但數學歸納法是這樣的，而且比任何關于小狗受歡迎程度的斷言都更有确定性。

數學歸納法原理是證明某些類型的數學命題的一種強大而優雅的技術。它适用于一般命題它斷言某些東西對所有正整數或從某一點開始的所有正整數都是正确的。

它類似于多米諾骨牌效應，一個倒下，随後其它的跟随倒下。

現代資料認為，意大利數學家喬瓦尼·瓦卡(1872 -1953)在1909年發現了數學歸納法的原理。

歸納證明假設你想證明某些性質P(n)适用于所有非負整數。為了利用歸納原理證明，我們遵循以下步驟:

• 證明P(0)為真。這個步驟被稱為基或基本情況。
• 證明對于任意自然數n，如果P(n)為真，那麼P(n 1)也為真。

在這一步中，我們假設P(n)對一個自然數k是正确的，然後嘗試證明它對k 1也是正确的。這被稱為歸納步驟。

• 如果我們成功地證明了歸納步驟，那麼通過歸納，我們可以得出P(n)對所有非負整數都成立。(邏輯上，P(0)為真，從歸納步驟中P(1)為真，然後P(2)為真，以此類推)
• P(n)被稱為歸納假設。
• 通過歸納得出，P(n)對所有n都成立。

數學歸納法的局限性是什麼?

數學歸納法的主要局限性之一是，它僅限于一組數字中可量化的項目;不能超過可量化的集合。

數學歸納法原理舉例

表述:前n個自然數的和是n(n 1)/2。

證明:通過歸納法，設P(n)為“前n個正自然數的和是n(n 1) / 2”。

現在，我們需要證明P(n)對所有自然數n都成立。

步驟1 –基底情況

我們需要證明P(0)為真，這意味着前0個自然數的和為0(0 1)/2。因為前0個自然數的和是0 = 0(0 1)/2.P(0)是正确的。

步驟2 -歸納步驟

對于歸納步驟，假設對于某n, P(n)成立，所以1 2 … n = n(n 1) / 2。

我們需要證明P(n 1)是成立的，這意味着前n 1自然數的和是(n 1)(n 2)/2。考慮前n 1個正自然數的和。這是前n個自然數的和，加上n 1。根據歸納假設，

1 … n (n 1)= n(n 1)/2 n 1= [n(n 1) 2(n 1)]/ 2 = (n 1)(n 2)/2

步驟3 -歸納假設

因此當P(n)為真時P(n 1)成立，所以P(n)對所有自然數n都成立。

證明的結構

• 說明你正試圖用歸納法證明某物。
• 說明你選擇的P(n)是什麼。
• 證明基本情況:說明P(0)是什麼，然後證明它。
• 證明歸納步驟。
• 說明你假設P(n)和P(n)是什麼。說明P(n 1)是什麼。(這就是你要證明的)
• 去證明P(n 1)

數學歸納法解題原理

問題1：對于任意正整數n, −1能被5整除。運用歸納原理驗證命題。

解決方案：對于任意n≥1,Pn表示−1能被5整除。

基本情況:聲明P1的計算表明，

=>−1 = −1 = 5能被5整除，這是正确的。

歸納步驟:設k≥1，并設Pk為真，即−1能被5整除。我們還需要證明也是正确的，即−1能被5整除。

通過，第一項6(−1)能被5整除，第二項顯然能被5整除。因此左邊也能被5整除。因此1為真。

歸納假設:因此，根據數學歸納的原理，對于所有n≥1,Pn成立。

下列n個連續自然數的乘方和公式都可以用歸納法證明。

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