數學從最初經驗性知識的積累，發展到如今，已建立起龐雜的學科體系。即包含一定程度上脫離經驗、應用的純粹數學，也包含側重應用的應用數學。而且數學将繼續朝着廣泛、深刻、抽象的方向發展，新概念、新思想、新方法還會不斷地産生。但是，無論數學如何的發展，到目前為止，無非兩種方式：擴張法(一般化方法)和發現法。

擴張就是指：從已知的概念、定理出發，建立以原有的結果為特殊情形的更為廣泛的概念、定理，該方法也可稱為一般化方法。這在數學史上是在非常常見的，數學家非常熱衷于從具體問題、特殊問題着手，找到其一般化的方法。

數學家解決數學問題時，一個最大的特點就是盡量追求問題的普遍化，即盡可能地把問題推廣到更一般的情形。

比如，随着認知的深入，數學的一些概念在不斷地拓展、擴張：

• 數的概念，從自然數開始，逐漸擴充到整數、有理數、無理數、負數、實數、複數和超越數等數的概念；
• 函數概念，從笛卡爾給出的最簡單的函數概念開始，經萊布尼茨、伯努利、歐拉、柯西、黎曼、狄利克雷、維布倫等數學家的六七次的逐步擴張，擴張到了以集合論為基礎的集合函數的概念，從而使其成為内容非常廣泛的一般性學科；
• 積分概念，從連續函數的積分出發，擴張到包括不連續的函數在内的函數積分，經柯西、狄利克雷、黎曼、勒貝格、當茹瓦、斯蒂爾切斯等數學家将其逐漸擴張，如今的積分概念非常廣泛。

定理和公式等數學命題，都是從個别事實出發得到的，其過程本身就是一種一般化。然而，繼續以已知的命題為思考素材，作為更高一級命題的“特例”，從而建立有着更廣泛意義的定理和公式：

• 勾股定理可以作為餘弦定理的一個特例；
• 柯西不等式的不同形式；
• 兩個積分公式，高斯公式為斯托克斯公式的特例；

如果從數學分支、學科的角度來看的話，學科也在經曆着一般化的擴張：

• 複變函數論可看作微積分的一般化；
• 勒貝格的測度積分為黎曼積分的一般化，而測度積分的方法還進一步影響到其他學科，比如将概率分布的期望等也理解為測度積分；
• 希爾伯特的公理幾何學，可以說是普通幾何學的一般化；
• 黎曼幾何的面世，使得歐式幾何成為其特例。

發現法

發現法不同于擴張法，它不依賴于已知事項而發現新的數學事項。發現法并不是完全地獨立于已有的數學，畢竟數學具有其系統性和連續性，隻是新問題的解決相對來說獨立，或者是一個全新的概念、領域。發現法不否定數學的積累，它既需要學科發展的成熟時機，也需要一個“英雄人物”，這在數學史上也是非常多的。例如：

• 笛卡爾與費爾馬将代數與幾何相結合，引入了坐标系；
• 牛頓和萊布尼茨以無窮小、極限概念為基礎，分别獨立地建立起微積分；
• 對于歐幾裡得幾何學公設的質疑，鮑耶和羅巴切夫斯基建立起與歐幾裡得幾何學性質迥異的非歐幾裡得幾何學；
• 康托爾創立超窮數與集合論的理論，使得數學大廈廣泛地建立在集合論的基礎之上；
• 為解決代數方程的求解問題，伽羅瓦引入了群論的概念；
• 蒙日和斯坦納等人創立與量的幾何學大不相同的、不使用量的概念的射影幾何學。

發現法的一個最大的特點就是，“英雄人物”的一些獨到見解，在曆經許多波折後，産生的新事物是與已知數學無關的新創立的學問或領域。盡管其基本概念常常是從已知數學的某些部門導出。

最後，我要說的是，雖然數學是靠擴張法和發現法發展起來的，但是現在的數學學習，都僅僅是理解和掌握這些發現的結果，而對于得到結果的途徑和方法，卻很少有人關注。畢竟深入研究和掌握發現法和一般化方法，能為基礎研究、開拓新領域提供最好的啟發。對于絕大部分的學生來講，可能沒什麼機會直接與數學大師溝通，但數學史是一個非常好的途徑，可以跨越時空的去了解當時數學家的工作。想要了解數學家是如何思考的？請購買專欄《大師啟示錄》，帶你解密數學大師的思考密碼！

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