一、基本概念和知識

　　1.公約數和最大公約數

　　幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　例如：12的約數有：1，2，3，4，6，12；

　　18的約數有：1，2，3，6，9，18。

　　12和18的公約數有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數，記作（12，18）=6。

　　2.公倍數和最小公倍數

　　幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　例如：12的倍數有：12，24，36，48，60，72，84，…

　　18的倍數有：18，36，54，72，90，…

　　12和18的公倍數有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍數，記作[12，18]=36。

　　3.互質數

　　如果兩個數的最大公約數是1，那麼這兩個數叫做互質數。

二、例題

例1 用一個數去除30、60、75，都能整除，這個數最大是多少？

分析 ∵要求的數去除30、60、75都能整除，

　　∴要求的數是30、60、75的公約數。

　　又∵要求符合條件的最大的數，

　　∴就是求30、60、75的最大公約數。

例2 一個數用3、4、5除都能整除，這個數最小是多少？

分析 由題意可知，要求的數是3、4、5的公倍數，且是最小的公倍數。

　　解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，

　　∴用3、4、5除都能整除的最小的數是60。

例3 有三根鐵絲，長度分别是120厘米、180厘米和300厘米.現在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩餘，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？

分析 ∵要截成相等的小段，且無剩餘，

　　∴每段長度必是120、180和300的公約數。

　　又∵每段要盡可能長，

　　∴要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數.

　　（120，180，300）=30×2=60

　　∴每小段最長60厘米。

　　120÷60 180÷60 300÷60

　　=2＋3＋5=10（段）

　　答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。

例4 加工某種機器零件，要經過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生産均衡，三道工序至少各分配幾個工人？

分析 要使加工生産均衡，各道工序生産的零件總數應是3、10和5的公倍數.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數。

例5 一次會餐供有三種飲料.餐後統計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數是多少人？

分析 由題意可知，參加會餐人數應是2、3、4的公倍數。

　　解：∵[2，3，4]=12

　　∴參加會餐人數應是12的倍數。

　　又∵12÷2 12÷3 12÷4

　　=6 4 3=13（瓶），

　　∴可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。

　　又∵65÷13=5，

　　∴參加會餐的總人數應是12的5倍，

　　12×5=60（人）。

　　答：參加會餐的總人數是60人。

例6 一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若幹個同樣大小的正方形，紙張不能有剩餘且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？

分析 由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數.在學校，我們已經學過用短除法求兩個數的最大公約數，但有時會遇到類似此題情況，兩個數除了1以外的公約數一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質數.怎麼辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數的方法。

　　對于例6，可做如下圖解：

　　從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個.在裁後剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個.然後又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩餘.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數.所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數。

　　讓我們把圖解過程轉化為計算過程，即：

　　2703÷1113，商2餘477；

　　1113÷477，商2餘159；

　　477÷159，商3餘0。

　　或者寫為

　　2703=2×1113 477，

　　1113=2×477 159，

　　477=3×159。

　　當餘數為0時，最後一個算式中的除數159就是原來兩個數2703和1113的最大公約數.

　　可見，477=159×3，

　　1113=159×3×2 159=159×7，

　　2703=159×7×2 477

　　=159×7×2 159×3=159×17。

　　又∵7和17是互質數，

　　∴159是2703和1113的最大公約數。

　　我們把這種求最大公約數的方法叫做輾轉相除法.輾轉相除法的優點在于它能在較短的時間内求出任意兩個數的最大公約數。

例7 用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。

　　解：∵4811=2×1981 849，

　　1981=2×849 283，

　　849=3×283，

　　∴（4811，1981）=283。

　　補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最後結果.也可以直接觀察，依次試公有的質因數。

例8 求1008、1260、882和1134四個數的最大公約數是多少？

　　解：∵（1260，1008）=252，

　　（882，1134）=126，

　　又（252，126）=126，

　　∴（1008，1260，882，1134）=126。

　　求兩個數的最小公倍數，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9.

例9 兩個數的最大公約數是4，最小公倍數是252，其中一個數是28，另一個數是多少？

例10 求21672和11352的最小公倍數。

　　解：∵（21672，11352）=1032

　　（1032可以用輾轉相除法求得）

　　∴[21672，11352]=21672×11352÷1032

　　=238392。

　　答：21672和11352的最小公倍數是238392.

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