一、模态分析

模态分析的理論經典定義：将線性定常系統振動微分方程組中的物理坐标變換為模态坐标，使方程組解耦，成為一組以模态坐标及模态參數描述的獨立方程，以便求出系統的模态參數。坐标變換的變換矩陣為模态矩陣，其每列為模态振型。

模态分析是研究結構動力特性一種近代方法，是系統辨别方法在工程振動領域中的應用。模态是機械結構的固有振動特性，每一個模态具有特定的固有頻率、阻尼比和模态振型。這些模态參數可以由計算或試驗分析取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模态分析。這個分析過程如果是由有限元計算的方法取得的，則稱為計算模記分析；如果通過試驗将采集的系統輸入與輸出信号經過參數識别獲得模态參數，稱為試驗模态分析。通常，模态分析都是指試驗模态分析。振動模态是彈性結構的固有的、整體的特性。如果通過模态分析方法搞清楚了結構物在某一易受影響的頻率範圍内各階主要模态的特性，就可能預言結構在此頻段内在外部或内部各種振源作用下實際振動響應。因此，模态分析是結構動态設計及設備的故障診斷的重要方法。

模态分析最終目标是在識别出系統的模态參數，為結構系統的振動特性分析、振動故障診斷和預報以及結構動力特性的優化設計提供依據。

二、各模态分析方法的總結

1.單自由度法

一般來說，一個系統的動态響應是它的若幹階模态振型的疊加。但是如果假定在給定的頻帶内隻有一個模态是重要的，那麼該模态的參數可以單獨确定。以這個假定為根據的模态參數識别方法叫做單自由度 (SDOF) 法n1。在給定的頻帶範圍内，結構的動态特性的時域表達表示近似為：

而頻域表示則近似為：

單自由度系統是一種很快速的方法，幾乎不需要什麼計算時間和計算機内存。

這種單自由度的假定，隻有當系統的各階模态能夠很好解耦時才是正确的。然而實際情況通常并不是這樣，所以就需要用包含若幹模态的模型對測得的數據進行近似，同時識别這些參數的模态，就是所謂的多自由度 (MDOF) 法。

單自由度算法運算速度很快，幾乎不需要什麼計算和計算機内存，因此在當前小型二通道或四通道傅立葉分析儀中，都把這種方法做成内置選項。然而随着計算機的發展，内存不斷擴大，計算速度越來越快，在大多數實際應用中，單自由度方法已經讓位給更加複雜的多自由度方法。

(1) 峰值檢測

峰值檢測是一種單自由度方法，它是頻域中的模态模型為根據對系統極點進行局部估計（固有頻率和阻尼）。峰值檢測方法基于這樣的事實：在固有頻率附近，頻響函數通過自己的極值，此時其實部為零（同相部分最小），而虛部和幅值最大（相移達90°，幅度達峰值）圖1。出現極值的那個固有頻率就是阻尼固有頻率ωr 的良好估計。相應的阻尼比ζr 的估計可用半功率點法得到。設ω1 和ω2 分處在阻尼固有頻率的兩側 (ω1<ωr <ω2)，則：

(2) 模态檢測

模态檢測是根據頻域中的模态模型對複模态（或實模态）向量進行局部估計的一種單自由度方法。在下式中略去剩餘項

則單個頻響函數在ωr 處的值近似為：

由此式可見，頻響函數在ωr 處的值乘以模态阻尼因σr ，就是留數（估計值如圖1）利用這種模态檢測方法之前，先要估計出ωr。

圖1 對頻響應函數的幅值進行峰值和模态檢測

(3) 圓拟合

圓拟合是一種單自由度方法，用頻域中的模态模型對系統極點和複模态（或實模态）向量進行局部估計。此方法依據事實是：單自由度系統的速度頻響函數（速度對力）在奈奎斯特圖（即實部對虛部）上呈現為一個圓。如果把其他模态的影響近似為一個複常數，那麼在共振頻率ωr 附近，頻響函數的基本公式為：

因此，首先要選擇共振頻率附近的一組頻率響應點，通過這些點拟合成一個圓。阻尼固有頻率ωr 可以看成是複平面上數據點之間角度變化率最大（角間隔最大）的那個點的頻率，也可以看成是相位角與圓心的相位角最為接近的那個數據點的頻率。對于分得開的模态而言，二者的差别是很小。

阻尼比ζr 估計如下：

式中，ω1、ω2分居在ωr 兩側的兩個頻率點：θ1、θ2，分别為頻率點在ω1和ω2的半徑與ωr 的半徑之間的夾角。

圓的直徑和阻尼固有頻率點的角位置含有複留數U jV 的信息：

式中，φ為圓的直徑，α為圓心與固有頻率點的連線跟虛軸之間的夾角。

圓拟合法速度也很快，但為避免結果出錯，特别是在模态節點附近，需要操作者參與。

2.單自由度與多自由度系統

粘性阻尼單自由度SDOF系統如圖2的力平衡方程式，表示慣性力、阻尼力、彈性力與外力之間的平衡。

圖2 單自由度系統

其中，M為質量，C為阻尼，K、

為加速度、速度、位移，f為外力，t 為時間變量，把結構中所呈現出來的全部阻尼都近似為一般的粘性阻尼。

把上面的時間域方程變換到拉氏域複變量P，并假設初始位移和初始速度為零，則得到拉氏域方程：

或

Z為動剛度經過變換可得傳遞函數的定義，

即

上式右端的分母叫做系統特征方程，它的根即是系統的極點是：

如果沒有阻尼C=0，則所論系統是保守系統。我們定義系統的無阻尼固有頻率為：

臨界阻尼Cc 的定義為使下式中

根式項等于零的阻尼值：

而臨界阻尼分數或阻尼比ζ1為：ζ1=CCc ，阻尼有時也有用品質因數即Q因數表示：

系統按阻尼值的大小可以分成過阻尼系統 (ζ1>1)、臨界阻尼系統 (ζ1=1) 和欠阻尼系統 (ζ1<1)。過阻尼系統的響應隻含有衰減成分、沒有振蕩趨勢。欠阻尼系統的響應時一種衰減振動，而臨界阻尼系統則是過阻尼系統與欠阻尼系統之間的一種分界。

實際系統的阻尼比很少有大于10%的，除非這些系統含有很強的阻尼機制，因此我們隻研究欠阻尼的情形。

在欠阻尼的情況式

兩個共轭複根：

其中，σ1 為阻尼因子，ω1 為阻尼固有頻率。有關系統極點的另外一些關系式有：

式

可寫成如下形式：

在展開成部分分式形式，則有：

這裡

這裡的A1和A1*是留數。

多自由度系統

多自由度系統可以用簡單的力平衡代數方程演化成形式相似的一個矩陣的方程。下面是以多自由度系統為例。如圖：

圖3 多自由度系統

該系統的運動方程如下：

寫成矩陣形式是

其中[M]、[C]、[K]、{f(t)}和{x(t)}分别為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、方向量和響應向量。把這個時間域的矩陣方程變換到拉氏域（變量為p）且假定初始位移和初始速度為零，則得：

或者是

式中，[Z(p)]動剛度矩陣。可以得到傳遞函數矩陣為：

式中，adj([Z(p)])為|Z(p)|的伴随矩陣，等于[εij|Zij]T；|Zij|為[Z(p)]去掉第行第列後的行列式

的傳遞函數矩陣含有幅值函數。

與單自由度情況一樣，系統特征方程的根，即系統極點，決定系統的共振頻率。根據特征值問題，可以求出系統特征方程的根。為了把系統方程

轉化為一般的特征值問題公式，加入下面的恒等式：

将此式與式

結合在一起得：

如果力函數等于零，那麼

就成了關于實值矩陣的一般特征值問題：

它的根就是特征方程|Z(p)|=0的根。同單自由度系統一樣，多自由度系統的極點的實部是阻尼因子，虛部是阻尼固有頻率。

3.實模态和複模态

按照模态參數（主要指模态頻率及模态向量）是實數還是複數，模态可以分為實模态和複模态。對于無阻尼或比例阻尼振動系統，其各點的振動相位差為零或180度，其模态系數是實數，此時為實模态；對于非比例阻尼振動系統，各點除了振幅不同外，相位差也不一定為零或180度，這樣模态系數就是複數，即形成複模态。

(1) 複模态與實模态理論

在拟合頻段， 實模态理論中傳遞函數在k 點激勵Z 點響應的留數表達式為

其中，rRkl 為留數，σr 和vr 構成的複數為系統的複特征值λr ，λr =-σr jvr 拟合頻段複模态理論中傳遞函數在k 點激勵f 點響應的留數表達式為

由上式中可以看出，傳遞函數共振峰處複模态的相位與實模态相位的差别，在于多出的複留數相位αr，由傳遞函數的逆變換可以得到脈沖響應函數，由此可以得到物理坐标系中結構的自由響應表達式。

對于無阻尼結構，t時刻第r 階模态k 點的振動為

粘性比例阻尼：t 時刻第r 階模态k 點的振動為

一般粘性阻尼：t 時刻第r 階模态k 點的振動為

式中，φkr表示振型幅值；Ω表示模态頻率；θ表示相位角。

可以看出， 無阻尼和比例阻尼系統的初相位與初始條件有關，與物理坐标無關， 具有模态（振型）保持性；而一般粘性阻尼系統的初相位還與物理坐标 k 有關， 每個物理坐标振動時并不同時達到平衡位置和最大位置， 不具備模态保持性， 是行波形式。但各物理坐标的相位差保持不變， 各點的振動周期、 衰減率仍保持相同。從物理坐标點的自由響應公式還可看出， 即使各測點留數為複數， 但如果留數的相位差， 即振型的幅角相同， 那麼還是可以得到振動周期内形狀不變且節點固定的振型。這樣模态雖是複模态， 但表現出實模态的性質。因此，實模态理論的實振型與複模态理論中複模态的差别在于，各測點峰值相位差的大小。

(3) 實模态提取方法

複模态理論中模态參數（特征值和特征向量）均為複數， 在進行結構模型修正時，大量采用複數矩陣和複數叠代運算，計算工作量大，效率低；實模态理論中模态參數為實數，物理概念明确，後續結構模型修正計算公式簡單，計算工作量小又節約空間，故實模态得到廣泛的應用。

實際測試得到的傳遞函數留數一般都為複數，要由複模态經過實模态提取技術才能得到實模态。複模态提取實模态的方法主要有：根據複模态的實部、虛部或相位确定實模态的傳統方法；Ibrahim的擴大模型法；Chen的傳遞函數提取法等，目前的模态分析軟件中普遍使用的為傳統方法。

由複模态實部或虛部獲得實模态向量的方法為：直接取複留數的實部或虛部作為實模态理論中的留數，進行規格化得到實模态振型。

由複模态相位獲得實模态向量的方法為：取複留數的幅值作為實模态理論中的留數， 根據sin(αr) 的數值接近1或-1，将留數相位歸為90°或-90°，然後盡享振型規格化，得到實模态振型，此振型中各測點相位差即為0°或180°。用複模态理論獲得的複模态向量，由複振型的周期變化中 t=0即振動達到最大幅度時的振幅之比表示。

三、模态分析的應用與發展

模态分析技術的應用可歸結為以下幾個方面：

• 評價現有結構系統的動态特性；
• 在新産品設計中，進行結構動态特性的預估和優化設計；
• 診斷及預報結構系統的故障；
• 控制結構的輻射噪聲；
• 識别結構系統的載荷。

對于實際的工程，用有限元軟件分析需要的頻率段，可查找振動原因，或校核。模态分析可以看出在那些頻率段需要防止或避免共振時很有用。

首先，頻率和振型是結構的固有特性，任何結構都可以進行模态分析；其次，結構的功能是不同的，不同結構對應的模态分析的用途是有差别的。對建築結構，模态分析可以知道結構的避頻設計、用于抗震設計計算以及考慮動力荷載的放大作用等。另外，還可以挖掘振型有關的信息。

機器、建築物、航天航空飛行器、船舶、汽車等的實際振動千姿百态、瞬息變化。模态分析提供了研究各種實際結構振動的一條有效途徑。

首先，将結構物在靜止狀态下進行人為激振，通過測量激振力與胯動響應并進行雙通道快速傅裡葉變換 (FFT) 分析，得到任意兩點之間的機械導納函數（傳遞函數）。用模态分析理論通過對試驗導納函數的曲線拟合，識别出結構物的模态參數，從而建立起結構物的模态模型。根據模态疊加原理，在已知各種載荷時間曆程的情況下，就可以預言結構物的實際振動的響應曆程或響應譜。

模态分析軟件以美國的ME’ScopeVES的功能最為全面。ME’ScopeVES軟件的功能包括信号處理 (signal Processing)、運行撓曲振型 (OperatingDeflection Shapes)、模态分析 (Modal Analysis)、結構改正 (SDM) 和聲學分析 (Acoustics AnalysiS)等，解決和分析機器與結構的振動噪聲問題。

主要特點：

• 可以顯示被測物體的實際工作形态 (0DS)、模态、聲學分布形态和工程數據的形态等；
• 模塊化結構便于用戶根據自己的需要選擇合适的産品；
• 強大的圖形顯示、結構編輯、數據處理及動畫顯示功能；
• 軟件的開放性好，能夠與全球的多家廠商的硬件兼容；

主要應用的領域：航空航天、建築橋梁、汽車制造、鋼鐵冶金、軍工裝備等。

模态分析與參數辨識作為結構動力學中的一種逆問題分析方法并在工程實踐中應用是從60年代中、後期開始，至今已有近四十年的曆史了。這一技術首先在航空、宇航及汽車工業中開始發展。由于電子技術、信号處理技術與設備的發展，到80年代末這項技術已成為工程中解決結構動态性能分析、振動與噪聲控制、故障診斷等問題的重要工具。目前這一技術已漸趨成熟，經過二十餘年的研究發展，到目前為止模态分析技術已在我國各個工程領域中廣泛應用，成為一種解決工程問題的重要手段。

模态分析技術發展到今天已趨成熟，特别是線性模态理論方面的研究已日臻完善，但在工程應用方面還有不少工作可做。首先是如何提高模态分析的精度，擴大應用範圍。增加模态分析的信息量是提高分析精度的關鍵，單靠增加傳感器的測點數目很難實現，目前提出的一種激光掃描方法是大大增加測點數的有效辦法，測點數目的增加随之而來的是增大數據采集與分析系統的容量及提高分析處理速度，在測試方法、數據采集與分析方面還有不少研究工作可做。對複雜結構空間模态的測量分析、頻響函數的耦合、高頻模态檢測、抗噪聲幹擾……等方面的研究尚需進一步開展。

模态分析當前的一個重要發展趨勢是由線性向非線性問題方向發展。非線性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出，雖有不少學者對非線性模态理論進行了研究，但由于非線性問題本身的複雜性及當時工程實踐中的非線性問題并引引起重視，非線性模态分析的發展受到限制。近年來在工程中的非線性問題日益突出，因此非線性模态分析亦日益受到人們的重視。最近已逐步形成了所謂非線性模态動力學。

關于非線性模态的正交性、解耦性、穩定性、模态的分叉、滲透等，是當前研究的重點。在非線性建模理論與參數辨識方面的研究工作亦是當今研究的熱點。非線性系統物理參數的識别、載荷識别方面的研究亦已開始。展望未來，模态分析與試驗技術仍将以新的速度，新的内容向前發展。

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