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數學中的趣味和魅力三個主題

生活更新时间:2025-02-03 04:38:25

關于π的數學形式和定理有很多很多，但對耳熟能詳的π你又真的了解多少呢？本篇我們就先來談談有關π的一些趣味數學原理，會讓你耳目一新，眼前一亮的感覺。

首先我們按照前一篇《根号2，黃金比例數，自然常數e的連分數存在着驚人的數學周期性》中的把無理數寫成連分數的方法，将π寫成連分數的形式

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）1

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）2

你會發現如果省去1下面的分母中加号右邊部分，隻保留左邊的整數部分，這個π是收斂的如此之快，因為很顯然，你用的分母越大，你能越來越近似原來的數。

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）3

所以說：從連分數生産的部分分式數列是原數的最佳有理近似

第二種：大數學家歐拉從對三角函數連續求導，并帶入0，就得到了sinx的級數形式

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）4

這就是大家熟知的sinx麥克勞林級數形式

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）5

但歐拉的工作還不尋找至于此，它繼續從方程的根出發，尋找sinX的無窮表達式，這種方式讀高中的夥伴們都很熟知的

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）6

從最簡單的開始首先如下是一個周期上的sinX函數圖形，很明顯有三個根：0，-π， π，

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）7

根據高中所需的知識，有這三個根sinX很明顯可以寫成如下樣式，但僅憑這三個根與sinX圖形契合的不是很好，因為以這三個根的方程有很多，所以我們需要在前面加一個系數并做調整

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）8

我們很容易得到這個系數C等于1/π^2（你知道怎麼來的嗎）

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）9

整理下就得到：sinX在(-π， π)上的周期函數圖形，如果你不信，可以試着動手檢測下，它是不是與(-π， π)上的sinX函數圖形吻合。

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）10

但sinX的函數遠不止在(-π， π)區間上，它可以無窮延伸，這就需要我麼尋找更多的根來逼近sinX函數，繼續下一個點： 2π， 2π，這兩個點同樣對應sinX的兩個0點

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）11

我們繼續下去，增加更多的的0點，就得到sinX函數的無窮多個點的方程式

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）12

函數圖形就會更加逼近sinX的真實圖形，

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）13

最終我們得到

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）14

你會發現最終sinX麥克勞林級數形式和根的無窮表達式之間是等價的。

數學中的趣味和魅力三個主題（有關π的無窮的數學魅力和它的妙用）15

以上就是有關π的無窮魅力，

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