羅爾定理，太難了?

拉格朗日定理，太難了?

柯西中值定理，太難了?

微分中值定理難嗎？

如果你覺得難，那你一定得看看以下文字了，簡明扼要，通俗易懂。

前言

微分中值定理是很重要的基礎定理，很多定理都是以它為基礎進行證明的。

1 羅爾中值定理

1.1 直覺

往返跑：

可以認為他從

點出發，經過一段時間又回到了

點，畫成

（位移-時間）圖就是：

根據常識，因為要回到起點，中間必定有速度為0的點：

拳擊比賽中，步伐複雜：

但不論怎樣，隻要最後回到起點，中間必定有速度為0的點：

這就是羅爾中值定理。

1.2 羅爾中值定理

設函數滿足以下三個條件：

• 在閉區間 [a,b] 上連續
• 在開區間 (a,b) 上可導
• 
  

則存在

，使得

。

在閉區間 [a,b] 連續是必須的，否則有可能沒有

在開區間 (a,b) 可導也是必須的：

1.3 拓展

定理中的條件“

在閉區間 [a,b] 連續、在 開區間(a,b) 可導”是否可以更改為“

在閉區間 [a,b] 連續、在 閉區間[a,b] 可導”？

不行，這兩者并非同一個條件，舉一個反例：

此函數在圖像如下：

此函數就是在 [1,0] 連續，(1,0) 可導，在端點 x=0,1 處導數不存在（類似于

在0點處不可導，可自行證明）。

2 拉格朗日中值定理

來看下交通管理中的區間測速：

時間

采集到汽車的位移為

，時間

采集到汽車的位移為

：

可以據此算出平均速度

比如算出來平均速度為 70km/h ，平均速度是由瞬時速度疊加的結果，那麼路程中的瞬時速度可能為：

• 勻速前進：那麼整個路程的瞬時速度必然全為 70km/h
• 變速前進：整個路程的瞬時速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情況

下面是變速前進的速度變換動畫（藍色為大于，閃爍為平行即等于，綠色為小于）：

如果限速 60km/h ，那麼根據汽車的平均速度為 70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一個點超速。

約瑟夫·拉格朗日伯爵，法國籍意大利裔數學家和天文學家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在數學層面解釋剛才的現象。

2.1 拉格朗日中值定理

設函數滿足以下兩個條件：

• 在閉區間 [a,b] 上連續
• 在開區間 (a,b) 上可導

則存在

這個定理的幾何意義就是，至少存在一點的切線與端點的連線平行；物理意義是，至少存在一點的速度與平均速度相等：

把它旋轉一下，

得到的就是羅爾中值定理，可見羅爾是拉格朗日的特例：

3 柯西中值定理

設函數

滿足以下條件：

• 在閉區間 [a,b] 上連續
• 在開區間 (a,b) 上可導
• 有：

則存在

，使等式

成立。

可以把

組合成參數方程：

這樣柯西中值定理就有類似于拉格朗日中值定理一樣的幾何意義：

如果：

那麼柯西中值定理就變為了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

4 總結

三大微分中值定理的聯系與區别：

微分中值定理是微分學中最重要的基本定理之一，是溝通函數與其導數之間的橋梁，是應用導數的局部性質研究函數在區間上的整體性質的重要工具，也是不等式與等式證明的重要方法。因此，關于微分中值定理的學習與研究具有非常重要的實際應用與理論意義。

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