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三角形的三條中線交于一點對不對

教育更新时间:2024-11-26 10:32:55

我們學過三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，這個重心有一堆重要的性質。

可是有人好奇三角形三條中線為什麼會交于一點嗎？

這個問題等價于如下問題：△ABC中，BE是AC邊上中線，CF是AB邊上中線，BE和CF交于O，連接AO并延長與BC交于D，證明AD是BC邊上中線。

三角形的三條中線交于一點對不對（為什麼三角形三條中線相交于一點）1

【提示】中線，會引申或者聯想到哪些可能的性質？除了被分成的兩段線段長度相等這個直觀結果，還有哪些常用的套路？

做輔助線構造中位線？

倍長中線？

通過邊長相等構造全等三角形？

其實當給出中線這個條件時，首選也是最常用的技巧就是“構造中位線”！

不過這個問題中，直接連接EF做中位線是無用的，因為不好與BC這裡産生關聯。為了與BC産生關聯，應朝着向下的方向嘗試做輔助線。

方法：過點B做BG平行于CF交AD的延長線于G。連接CG。

三角形的三條中線交于一點對不對（為什麼三角形三條中線相交于一點）2

因為BG∥CF，F為AB中點，因此O是AG中點（△ABG中位線）

E為AC中點，因此OE是△ACG中位線，于是OE∥CG。

四邊形BOCG兩組對邊分别平行，是平行四邊形。

平行四邊形的對角線互相平分，因此BD=CD。命題得證。

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