我們知道反比例函數的圖像都是由兩支形狀相同的曲線組成的，我們稱反比例函數的圖像為雙曲線。反比例函數的圖像既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，其對稱中心是坐标原點，對稱軸是兩坐标軸夾角平分線所在的直線，即直線y=x和y=-x。

是否存在關于一般情形下直線對稱特性呢。下文通過探讨反比例函數對稱性與正比例函數y=kx(k≠0)，或特殊一次函數y=±x b(b≠0)的對稱性之間相互關系，建立數學模型，借助“形”的直觀靈活設點的坐标，這樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的周密性.

類型1 巧用反比例函數與正比例函數的對稱性

例1．（2018秋•金牛區校級月考）已知直線y＝kx（k＞0）與雙曲線y=9/x相交于點A（x₁，y₁）（第一象限）、B（x₂，y₂）（第三象限），則2x₁y₂﹣1/9x₂y₁的值是 　．

【分析】根據關于原點對稱的點的坐标特點找出A、B兩點坐标的關系，再根據反比例函數圖象上點的坐标特點解答即可．

【解答】由題意知，直線y＝kx（k＞0）過原點和一、三象限，且與雙曲線y＝9/x交于兩點，則這兩點關于原點對稱，∴x₁＝﹣x₂，y₁＝﹣y₂，

又∵點A，B在雙曲線y＝9/x上，∴x₁×y₁＝9，x₂×y₂＝9，

∵由反比例函數的性質可知，A、B兩點關于原點對稱，∴x₁×y₂＝﹣9，x₂×y₁＝﹣9，

∴2x₁y₂﹣1/9x₂y₁＝2×（﹣9）﹣1/9×（﹣9）＝﹣18 1＝﹣17,故答案為﹣17

【點評】本題考查了反比例函數的對稱性，利用了過原點的直線與雙曲線的兩個交點關于原點對稱而求解的．

變式練習1．（2018•江都區校級三模）若函數y＝1/x與y＝kx（k＞0）圖象的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則代數式3x₁y₂ 2x₂y₁的值是 　．

2．（2018春•邗江區校級月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函數y＝k/x的圖象與一次函數y＝﹣2x的圖象相交于A、B兩點．若點A的坐标為（m，n），則點B的坐标為 ．

類型2 活用反比例函數與一次函數y=±x b的對稱性

例2．（2018•連雲港模拟）如圖，過點C（1，2）分别作x軸、y軸的平行線，交直線y＝﹣x 6于A，B兩點，若反比例函數y＝k/x（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，則k的取值範圍是（ ）

A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

常規解法：

【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐标特征，二次函數的最值問題，本題看似簡單但不容易入手解答，判斷出最大最小值的取值情況并考慮到用二次函數的最值問題解答是解題的關鍵．

先求出點A、B的坐标，根據反比例函數圖象上點的坐标特征可知，當反比例函數圖象與△ABC相交于點C時k的取值最小，當與線段AB相交時，k能取到最大值，根據直線y＝﹣x 6，設交點為（x，﹣x 6）時k值最大，然後列式利用二次函數的最值問題解答即可得解．

【解答】∵點C（1，2），BC∥y軸，AC∥x軸，

∴當x＝1時，y＝﹣1 6＝5，當y＝2時，﹣x 6＝2，解得x＝4，

∴點A、B的坐标分别為A（4，2），B（1，5），

根據反比例函數系數的幾何意義，當反比例函數與點C相交時，k＝1×2＝2最小，

設反比例函數與線段AB相交于點（x，﹣x 6）時k值最大，

則k＝x（﹣x 6）＝﹣x^² 6x＝﹣（x﹣3）^² 9，

∵1≤x≤4，∴當x＝3時，k值最大，此時交點坐标為（3，3），

因此，k的取值範圍是2≤k≤9．故選：B．

巧妙解法：由對稱2②可知，A,B兩點關于直線y=x對稱，設A（m,n）,則B(n,m),依題意可得當A,B兩點重合時，雙曲線與直線AB（即△ABC）有且隻有一個交點（臨界點一），即m=n，又由A（m,n）在直線y=-x 6上，得m=n=3,則k=mn=9;同理當雙曲線與△ABC有且隻有一個交點（臨界點二），即K=1×2=2，因此K的取值範圍為2≤k≤9．故選：B．

例3.已知，如圖，直線y=x 2與雙曲線y=k/x（k＞0）相交于于A,B兩點，且與y軸交于點C，若△AOB面積為6，求K的值為_______

解析：由對稱2①可知，A,B兩點關于直線y=-x對稱，設A(m,n),則B(-n,-m),則△AOB面積為1/2 OC(m n)=m n=6,又由A(m,n)在直線y=x 2上，有n=m 2,可得m=2,n=4，所以k=mn=8.

變式練習3．（2018秋•龍華區期末）如圖，已知函數y＝x 2的圖象與函數y＝k/x（k≠0）的圖象交于A、B兩點，連接BO并延長交函數y＝k/x（k≠0）的圖象于點C，連接AC，若△ABC的面積為8．則k的值為__________．

4．（2018春•靖江市校級月考）一次函數y＝﹣x 1與反比例函數y＝﹣2/x，x與y的對應值如表：不等式2/x﹣x 1＞0的解集為　 　．

【練習答案及提示】

1. -5 根據反比例函數圖象上點的坐标特征，兩交點坐标關于原點對稱，得到x₁＝﹣x₂，y₁＝﹣y₂，再代入3x₁y₂ 2x₂y₁得出答案．

2. （﹣m，﹣n）．

反比例函數的圖象是中心對稱圖形，則經過原點的直線的兩個交點一定關于原點對稱．

3. 3 連接OA．根據反比例函數的對稱性可得OB＝OC，那麼S_△OAB＝S_△OAC＝1/2S_△ABC＝4．求出直線y＝x 2與y軸交點D的坐标．設A（a，a 2），B（b，b 2），則C（﹣b，﹣b﹣2），根據S_△OAB＝4，得出a﹣b＝4 ①．根據S_△OAC＝4，得出﹣a﹣b＝2 ②，①與②聯立，求出a、b的值，即可求解．

4. x＜﹣1或0＜x＜2．

以上幾個例題中反比例函數圖象的對稱性在解題時常薦會被忽略，但是事實上它的作用無處不在，而所用的解題思路讓我們感受到數形結合是多麼的奇妙．均利用反比例函數的對稱性，通過設而不求的方法解決問題. 這種方法在數形結合的中經常用到的，也是解次函數問題一種巧妙思路，值得我們在假期中做此類深度思考的學習活動。

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