古希臘人癡迷于幾何學，這可能構成了他們哲學宇宙學的基礎。

每個内接在其直徑上的圓内的三角形都是直角三角形。

據說在這一發現後，泰勒斯進行了一場盛大的祭祀儀式。

泰勒斯可能相信整個宇宙都是由直角三角形構成的嗎？

已故評論家普羅克勒斯 (Proclus) 稱贊泰勒斯 (Thales) 以亞裡士多德 (Aristotle) 的學生 Eudemus 的權威“發現”了幾何命題，其中一些更一般，而另一些則更實際。 考慮一些表達直角三角形實際示例的圖表。

從左到右，我們有泰勒斯對 (i) 當金字塔的陰影等于其高度時的高度； (ii) 當金字塔的陰影不相等但與其高度成正比時，金字塔的高度； (iii) 從海岸線到海上船舶的距離； (iv) 從塔到海上船舶的距離。 請注意，旋轉時，它們都是相同的圖！

更一般的命題似乎也與實用幾何相關：

我們有一份關于泰雷茲一項特殊成就的報告。 起源于公元前 3 世紀的第歐根尼·拉爾提烏斯 (Diogenes Laertius)，由數學家潘菲拉 (Pamphila) 授權，它說泰勒斯 (Thales) 在将一個直角三角形刻成一個圓圈時做出了一項華麗的儀式犧牲。 顯然，他認為這是一件大事。 稍後會詳細介紹。

泰勒斯必須知道的第一件事是每個三角形的角之和為兩個直角。 （每個三角形内的角之和為 180°。兩個直角，每個角為 90°，也為 180°。）我們有一份古老的報告，認為泰勒斯那一代的幾何學家在所有物種中都掌握了這一事實。 三角形——等邊、等腰和不等邊三角形。 泰勒斯和他的幾何學家是怎麼做到的？ 考慮以下圖表：

通過從每個三角形的頂點向對邊垂下一條垂線，然後完成形成的兩個矩形，人們可以立即看到每個矩形（包含四個直角）被三角形的每一邊創建的對角線減半 . 因此，每個半三角形包含兩個直角。 如果去掉底邊的兩個直角，留下一個大三角形的三個角，則這些角之和為兩個直角。

現在，考慮一下泰勒斯是如何證明在其直徑上内切于圓内的每個三角形都必須是直角三角形的。 為了證明這一點，他依靠等腰三角形命題證明了 A [α β] 處的角是直角。

也許他是這樣做的：根據等腰三角形命題，泰勒斯知道線段 BD 和 AD（左圖）的長度相等，因為它們都是圓 BAC 的半徑。因此，它們的對角——α 和 α——必須相等。由于每個三角形都是 180°（即包含兩個直角的等價物）并且底邊的角 BDA 是直角，因此 α α 也必須等于一個直角。 α 本身是直角的一半。

接下來，CD 和 AD 的長度都相等，因為它們也是圓 BAC 的半徑，因此它們對角也必須相等——即 β 等于 β。如果我們承認基礎 ADC 處的角度是直角，并且每個三角形中都有兩個直角等價物，那麼 β β 必須等于一個直角。 β 本身是直角的一半。

最後，A 處的角度被分成兩個相等的部分，α 和 β。因為每個都是直角的一半，所以 (α β) 它們等于一個直角。

這就解釋了内接圓内的等腰三角形的直角。但是斜角肌的所有品種呢？或多或少，這是相同的論點。

考慮三角形 ABC（右圖）。它由兩個三角形ABD和ACD組成。在 ABD 中，AD 必須等于 BD，因為兩者都是圓 BAC 的半徑，因此與這些邊相對的角度也必須相等。同樣的論點也适用于三角形 ADC。因此，三角形 ABC 的三個角是 α β (α β)。既然我們已經知道每個三角形的内角之和為 180°（即兩個直角的等價物），那麼 α β (α β) 就等于兩個直角。因此，α β 必須等于一個直角。

也許這些證明使泰勒斯和他的同伴相信，在其直徑上内切于圓形的每個三角形都是正确的。但為什麼要進行大祭祀呢？

古老的傳統并沒有給我們更多的洞察力，我們隻能進行推測。亞裡士多德聲稱泰勒斯假設了一個潛在的統一體，水，它會改變而不改變。雖然事物看起來不同，但水是一切事物的基礎。水隻是改變了，沒有實質性的改變。如果泰勒斯一直在研究幾何以試圖發現水的潛在結構，也許他遵循了與柏拉圖在用幾何形狀确定四種元素（火、空氣、水和土）時所做的類似的思路。

泰勒斯可能已經确定直角三角形是水的基本結構。而且，他現在有一種方法可以制作無限數量的它們以進行進一步的研究，隻需制作一個圓圈，繪制其直徑并在其中寫入一個三角形即可。

羅伯特·哈恩教授對古代和現代天文學和物理學的曆史、古代技術、古埃及和紀念性建築對早期希臘哲學和宇宙學的貢獻以及埃及和希臘的古代數學和幾何學有着廣泛的興趣。 每年，他都會在希臘、土耳其和埃及舉辦“古代遺産”巡回研讨會。 他的最新著作是《勾股定理的形而上學》。

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