九年級數學圓圖形問題-tft每日頭條

九年級數學圓圖形問題

生活更新时间:2024-09-18 11:10:42

在人教版九年級數學上冊課本第103頁有這樣一道題目：

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的長分别為c，a，b。求△ABC的内切圓半徑r。（圖形如下圖所示）

九年級數學圓圖形問題（直角三角形内切圓問題延伸）1

課本題目

根據這道題目，可以推導出直角三角形内切圓半徑的兩種計算公式。

思路一是利用切線長定理。把斜邊AB用a，b，r三種字母表示出來，最後推導出a，b，c和r的第一種關系式。

思路二是利用面積法，連接AO，BO，CO把三角形ABC分為三個小三角形，這三個三角形的面積加起來等于二分之一的AC乘BC，從而推導出a，b，c和r的第二種關系式。

具體做法如下圖所示：

九年級數學圓圖形問題（直角三角形内切圓問題延伸）2

兩種解法

熟記這兩個公式，能快速解決許多相關的填空題。例如下面這道題目：

《歌詞古體算題》記載了中國古代的一道在數學史上名揚中外的"勾股容圓"名題，其歌詞為：“十五為股八步勾,内容圓徑怎生求?有人算得如斯妙,算學方為第一籌”。當中提出的數學問題是這樣的：今有股長15步,勾長8步的直角三角形，試求其内切圓的直徑。

分析：根據題目可知：直角三角形三條邊長分别為8,15,17。所以使用第一個公式r=1/2（8 15-17）=3，所以直徑為6。使用第二個公式的話，r=8X15/（8 15 17）=3，直徑為6。

延伸：這一種類型的題目還可以從特殊到一般，由直角三角形到一般三角形。

（2017·武漢）已知一個三角形三邊長分别為5、7、8，則其内切圓的半徑為多少？

分析：這道題目的解題思路其實和上面的解法2相同，就是用面積法。具體解答過程如下圖所示：

九年級數學圓圖形問題（直角三角形内切圓問題延伸）3

解答過程

九年級數學圓圖形問題（直角三角形内切圓問題延伸）4

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