今天來談談定積分。定積分的提出和面積有關。我們小學時就接觸了面積的概念，也很容易理解正方形，長方形，三角形等圖形的面積。

面積可以理解為平面圖形占據平面“空間”的多少，就像一張照片包含像素點的多少一樣。

将像素點（這裡理解為一個個細小的正方形）的邊長定義為單位長度，這樣就理解了正方形的面積公式：邊長的平方，即正方形中包含的像素點個數，從而平直規整的圖形（長方形，三角形，梯形等）的面積都能理解了。

不過對于曲線包圍的面積我們卻不能直接計算。例如下面這個圖形：

數學上把這種由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。如何計算這種圖形的面積呢？曲線圖形面積的計算有個核心思想，就是“以直代曲”。具體來說就是當一段曲線上的兩點充分接近時，此時這兩點間的曲線可以近似看成直線。利用這種思想可以将曲線圖形用許多細小的平直圖形密鋪逼近，然後再将面積求和，從而求得曲線圖形的面積。最早采用這種思想的是古希臘的數學家阿基米德，他的方法稱為“窮竭法”，阿基米德使用這種方法計算了抛物線弓形的面積。“窮竭法”是積分思想的萌芽。

定積分采取了和窮竭法相似的手段，而高明之處就是定積分在窮竭法的基礎上加入了系統的極限思想。總的路線都是将曲線圖形用平直圖形密鋪逼近，然後将面積求和。這裡舉一個定積分的實際例子：求由抛物線f(x)=x²與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積S。

要求解這個曲邊梯形的面積，我們可以将區間[0,1]分成許多小區間，把該曲邊梯形拆分為許多小曲邊梯形，每個小曲邊梯形可近似看作矩形，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值。可以想象，随着拆分越來越細，近似程度就會越來越好。

我們可以按照以下步驟來具體實施：

（3）求和：記所有小矩形的面積的和為Sn,則：

上式要用到正整數平方數列的求和公式：

（4）取極限：可以理解當n無窮大時，無限趨近曲邊梯形的面積，從而有：

按照以上求解曲邊梯形面積的過程，我們給出定積分的一般概念：

要了解定積分，我們還需要知道一個關于積分的法則：“微積分基本定理”（也叫做“牛頓—萊布尼茨公式”）。

我們知道函數在某點處的導數，表示函數在該點處的瞬時變化率，即函數圖象在該點處的切線斜率。在一作變速直線運動的物體的位移—時間圖象（s-t圖）中，某點處的切線斜率及該點處的導數值，也就是該點處位移對時間的瞬時變化率—瞬時速度。

由此可得物體的總位移

顯然n越大，上式與的近似程度就越好,由定積分的定義有：

這就是大名鼎鼎的“微積分基本定理”（“牛頓—萊布尼茨公式”）。微積分基本定理，使得定積分的求解變得簡便，求解定積分可化作求解相應函數的原函數在對應區間的函數值之差。

以上就是對定積分的介紹，它是數學上最重要的概念之一。定積分及它所對應的微積分思想的提出在數學上具有裡程碑式的意義，毫不誇張地說微積分變革了整個數學世界！

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