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如圖1，給定正方形ABCD及正方形AB邊上一點E，求作：△EBF，使其周長等于正方形ABCD的邊長a，且點F在BC邊上.

圖1

步驟1 在CB邊上截取CM=EB，

步驟2 連接EM，

步驟3 作EM中垂線交BC于點F，

步驟4 連接EF，得△EFB即為所作.

圖2

∵FH是EM的中垂線，

∴EF=MF，

∵EB = MC，

∴BE＋EF= CM＋MF=FC，

∴△EFB的周長= BE＋EF＋BF

= BF＋FC=BC=a.

本題作為尺規作圖問題，作法本身并不困難，困惑在于這種作法是怎樣發現的，或者說怎樣想到的，背後的思維機制和理論基礎是值得探讨的.

先看發現作法I的分析

由題知，求作△EFB的關鍵是确定唯一未知頂點F在BC邊上的位置，而該三角形的邊EB是确定的，要使△EFB的周長等于邊長a，顯然另兩邊的和必然等于a－EB，

即BF＋FE=a－EB，因而想到在CB上先截出EB的長，再将剩下線段采用适當的方法分成兩段即可，這個适當的方法很容易想到是用中垂線來分.

在探求這個疑問的過程中，另外一些疑問浮現出來：

疑問1 點F的存在性，點F在BC邊上是否一定存在？

疑問2 是否隻能在BC邊上截取EB的長度？

疑問3 正方形作為一個完美的對稱圖形，其中心O是否一定在中垂線FH上？

如果能解決這些疑問，顯然就可以發現其他的作法，因而有必要繼續探究一番！

正方形邊長為a，設BE=k1a，BF= k2a，

依題意得EF=[1－（k1＋k2）]a，

由勾股定理易得

2（k1＋k2）=1＋2 k1 k2，。。。（1）式

結論 本題中，隻要點E在AB邊中點的下方，點F就一定存在，并且在BC邊中點的左側（如圖3）.

圖3

采用分析法（執果索因）

假設點F已作出，以點F為圓心，FC的長為半徑畫弧交FE的延長線于點G，則顯然有FG=FC=（1－k2）a，其中EF=[1－（k1＋k2）]a，EG=EB=k1a，連CG，作CG的中垂線FH，交AD邊于H.

若中垂線FH過正方形的中心O，問題就容易一些了.為驗證這個猜想，先嘗試了純幾何辦法，沒有成功，為此幹脆改弦更張利用解析幾何的知識作嘗試.

如圖4，以B為坐标原點（0，0）建立直角坐标系.

圖4

則以下各點的坐标為：E（0，k1a），F（k2a，0），作GI⊥x軸，垂足為I，

（溫馨提示：兩點所确定的直線的斜率=這兩點的縱坐标之差與橫坐标之差的比值）

所以正方形中心O在中垂線FH上，前面猜想正确！

下面探究∠EOF的特征.把FH想象成角平分線（怎麼會有此想法？），為此在CB邊上截取FM=FE，則顯然有△OEF≌△OMF，從而FO平分∠FOM，∠FOM=2∠EOF.

好的，繼續幹！

求得OE的斜率kOE=1－2k1，

求得OM的斜率kOM=-1/(1-2k1)，

計算得kOE× kOM=－1，

所以OE⊥OM，

即∠FOM=2∠EOF=90°，∠EOF=45°.

至此，探究出另外的作法（如圖5）.

圖5

以上過程可逆，所以△EBF的周長=BF EF EB= BF FC=BC=a.

一些細節的替代方案(如圖6)：

實際上△OEB≌△OMC，鑒于尺規作直角、作角平分線都較麻煩，

修改步驟3，步驟4為

步驟3.在邊CB上截取CM=BE （此時OM⊥OE，為什麼？請思考。）

步驟4.連接EM，作EM的中垂線交BC邊于F，則△EBF即為所作.

圖6

作法II與作法I思路略有不同，作法II是通過作直角的平分線确定點F，作法I是中垂線确定點F，其實這兩條線（角平分線、中垂線）是同一條線！但先作直角再作平分線略顯繁瑣，但從作法繁簡論，作法I更優.

但也絲毫不能貶低作法II的思維價值.從作法II探究過程發現的兩個結論

其一，正方形的中心O必為中垂線段FH的中點；其二，∠FOM=90°，奠定了作法II的理論基礎，因而至關重要.而這兩個結論的證明，都可以單獨作為一道證明題，筆者在本文中提供的證明方案是解析法，肯定還可以用純幾何法來證明，歡迎留言（或私信）交流.

實際上還可以由此發現一些結論，比如O，E，B，M四點共圓，有興趣的讀者可以進一步研究并證明，并由此可以進一步優化作法.

作法III（如圖7）

（1）連接OE，以OE為對稱軸，作出B的對應點B’，連B’E，交BC于點F.

（2）△EBF即為求作.

圖7

作法IV（如圖8）

（1）連接OE，作△BEO外接圓交BC邊于M，再作直角∠EOM的平分線交BC于點F

（2）△EBF即為求作.

圖8

作法V（如圖9）

（1）連接OE，作ST⊥OE，O為垂足，再作直角∠EOS的平分線交AB于點Q，然後以E為圓心EQ為半徑畫弧交BC邊于點F.

（2）△EBF即為求作.

圖9

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