根式的乘法

我們知道，在讨論根式的恒等變形的時候，經常要限制在算術根的範圍内，限定被開方數為非負數，即雙重非負性。那麼由此我們可以有以下的：

1. 乘積的算術根，等于乘積中各個因式的同次算術根的乘積；
2. ,分式的算術根，等于分子的同次算術根除以分母的同次算術根；
3. 幂指數和根指數的相約法則；
4. 根式的開方法則；
5. 根式的乘方法則；
6. 自根号内提出因子的法則；
7. 将因子放進根号的法則；

算術平方根的知識點

若進入上述的公式内的數不都是非負數，這些根式運算法則可能不成。

為了更牢固地掌握算術根的概念，對于這類根式，我們應當擴大讨論a的取值範圍，再不能把a限定在非負數(即a≥0)的範圍内。事實上，當a<0時,是有意義的。那麼當a<0時,的值不應是a,而必須寫成: 。随着所學代數、三角知識的增多，會碰到更多的類似的求值問題。如果對這類根式求值問題不予重視，不反複鞏固練習，弄清規律，往往不能求出正确的根式值。

下面拟舉出幾種容易被學生搞錯的類似的根式求值問題，以幫助大家正确解答。

1、對往往容易寫成。忽略了0<x<1時， lgx是負值。實際上，

2、對于，相信也往往容易直接寫成，,不認真考考a與b的取值範圍不同，的值也不同。

• ①當a>1,b≥1時，;
• ②當a>1, 0<b<1時，;
• ③當0<a<1,b>1時,;
• ④當0<a<1,0<b≤1時,。

這四種情況能否分辨得清楚，關鍵在于牢固地掌握了對數的基本概念和算術根的基本概念，才能正确地進行解答。

3、對于,大家也會忽略sinx中x所在的區間，锴誤地寫成,,應當首先考慮x在哪個象限，當x在Ⅰ、Ⅱ象限及x=Kπ (K為整數)時，sinx為非負，,而當x在Ⅲ、IV象限時，sinx為負， 。 同樣對、也應分别讨論x所在象限，确定cosx、tanx值的負和非負。

4、大家往往容易寫成,忽略了a b<0的可能性。a b<0的可能性是.由①a、b同時為負。②a與b異号，且為負的一個數的絕對值大，這種情況所決定的。當a b<0時,。為了加深理解，可以指導讨論a b<0的條件。.

5.對于更應認真分析。因為極易簡單地寫成。 事實上:

( 1)當a>1,且i)bc>1時， 原式=。ii)當0<bc<1時，原式= ,

(2)當0<a<1,且i)bc>1時,原式= 。ii) 0<bc<1, 原式= 。

6、，隻是α在第I象限時，而當α在第三象限時sinα cosα<<0正确答案應為一(sinα cosα)而當α在Ⅱ、IV象限時就很複雜了。當 (k=0、1、2...）正确答案應是sinα cosα。當,sinα cosα<<0 正确答案是一 (sinα cosα)。當時，sinα cosα<<0 正确答案是一 (sinα cosα)，當,正确答案應為sinα cosα。

7、對于、、等這類根式大家往往誤認為sinα sinβ, cosα cosβ,tanα tanβ,不小于零。不知道它們均存在為負的情況。如果α、β同在Ⅲ、IV 象限時可知sinα sinβ<0。α和β中隻有一個在第Ⅲ或第IV象限時問題就複雜了。如果這個為負的三角函數值絕對值大的話，此題答案為一(sinα sinβ) 至于、等也應作類似的分析，從而确定答案。

8、對 大家往往會忽略了a-b<0這種可能性，而隻寫成。應當懂得當a-b<0 (即a<b)時

9、對于,大家往往容易寫成1g2 -1g5。 實際上，當a>1時，是單調增函數,因為Ig5>lg2,所以.

10、對于,大家往往容易解答成。不知道當0<a<1時,是單調減函數。應該牢記，當0<a<1, b>c>0 時；,所以

11、大家對 這一步是能正确解答的，但是在求根式值時，則可能忽略當0<x<10的可能性，錯誤地解答成1gx-1。同樣對于象 或這類問題在算出, 時，會忽略以及這兩種情況，不知道，。而對于這類根式計算問題更為複雜,要分别讨論a、x的不同取值範圍，從而确定是否小于零，一定要明确是存在着小于零的可能性。因此，像這類根式的答案應為。

12、當0<x<1時，大家會忽略了盡管将化成一步，但最後卻錯誤地解答成。當x<-1時即所以當0<x<1或x<-1時，正确答案應為。通過此題的讨論，我們就進行讨論。讨論為負的可能性，這就可回顧二次函數的有關知識。

13、對于這一根式，大家往往不知道當0<a<1,n>0時， 。 而錯誤地解答成.事實上當0<a<1, n>0時, .

14、 當0≤β≤α≤π時。大家又往往容易錯誤地寫成不知道在[0,π]這一區間，餘弦函數是遞減的。同樣對, 當時,大家又往往容易錯解成忽略了在正弦函數是遞增的。而對也往往會忽略 tanα-tanβ<0 的可能性。

15、在求時，要牢牢記住當時，cosα -sinα<0不能将答案寫成同樣當時，的答案不能寫成(其餘三個象限的論讨大家可以自己動手論證)。

16、對這類根式，要懂得，因為cosx的最大值是1,所以cosx-2<0,因此,.

此外還可以列舉出諸如因為sinx的最大值是1 ,1-sinx≥0。

要正确解答上述各類根式題的關鍵是要能正确判斷被開方數究竟為負還是非負。要對這些數深入地進行分析研究。考慮為負、非負的可能性。還必須要對二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等定義域、值域、增減性有足夠的了解，和算術根的概念結合在一起反複練習，才能熟練準确地判斷出根号内的數是負還是非負，正确地求出算術根。

本文摘錄自數學通報1980年第一期，《由所想到的》，肖遜

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