到期收益率(YTM)可能是債券市場中最常見的概念。在本節中，我們的目标是明确它與即期利率以及債券的預期和實際收益率之間的關系。

到期收益率與即期利率有何關系？在債券市場上，大多數債券都支付息票，也有許多債券含有期權，比如看漲期權。到期日為T的債券的YTM并不等于T時刻的即期利率，但YTM與即期利率曲線有着數學關系。由于無套利理論表明債券的價值是将債券所支付現金流按相應的即期利率折現後的現值之和，因此債券的YTM應該是即期利率的加權平均值。

案例5說明了即期利率與到期收益率之間的關系。

案例5 即期利率和到期收益率

回想一下前面的例子，即期利率r(1) = 9%， r(2) = 10%， r(3) = 11%。設y(T)為到期收益率。

1.用即期利率計算兩年期按年付息債券的價格。假設息票率為6%，面值為1000美元。然後，描述用到期收益率計算債券價格的公式。r(2)大于還是小于y(2)？為什麼？

2.用即期利率計算3年期按年付息債券的價格。假設票面利率為5%，面值為100英鎊。然後，寫下用到期收益率計算債券價格的公式。r(3)是大于還是小于y(3)？為什麼？

使用到期收益率，

注意，y(2)用來對第一年和第二年的現金流進行折現。由于債券隻能有一個價格，因此r(1) < y(2) < r(2)，因為y(2)是r(1)和r(2)的幾何平均值，收益率曲線向上傾斜。使用計算器，可以計算出到期收益率y(2) = 9.97%，小于r(2) = 10%，大于r(1) = 9%，與我們的推理一緻。注意，y(2)距離r(2)比r(1)更近，因為債券最大的現金流發生在第2年，因此在計算y(2)時，r(2)的權重大于r(1)。

解答2:

使用即期彙率，

使用到期收益率，

注意，y(3)用于對所有三個現金流進行折現。由于債券隻能有一個價格，y(3)必須是r(1)、r(2)和r(3)的幾何平均值。假設本例中的收益率曲線是向上傾斜的，那麼y(3) < r(3)。使用計算器計算，得到y(3) = 10.93%，小于r(3) = 11%，大于r(1) = 9%，如我們所料，到期收益率必須位于最高和最低的即期利率之間。注意，與r(2)或r(1)相比，y(3)更接近r(3)，因為債券的最大現金流發生在第3年，因此在計算y(3)時，r(3)的權重大于r(2)和r(1)。

到期收益率是債券的預期收益率嗎？除非有極其嚴格的假設，否則不會。預期回報率是一個投資者對投資所預期的回報率。YTM是在“到期時所有的息票和本金都可付清、同時收到的息票以原YTM進行再投資”的假設條件下一隻債券持有至到期的預期收益率。但是，以原YTM将息票進行再投資的假設通常不成立。如果(1)利率波動較大；(2)收益率曲線呈陡坡上升或下降趨勢；(3)存在重大違約風險或(4)債券有一個或多個期權（例如，看跌、買入或轉換） ，YTM對預期收益的估計會變差。如果是(1)或(2)中的任何一種情況，息票的再投資将不會以假定的利率(YTM)進行。情形(3)暗示實際現金流可能與YTM計算中假設的不同，而情形(4)中，行使内在期權通常會導緻持有期限短于債券的原始到期日。

實際收益是投資者持有債券期間債券的實際收益。它是基于實際再投資率和持有期結束時的收益率曲線。如果可以進行完美的預測，債券的預期收益率将等于債券的實際收益率。

為了說明這些概念，假設r(1) = 5%， r(2) = 6%， r(3) = 7%， r(4) = 8%， r(5) = 9%。假設一個票面利率為10%的五年期按年付息債券。根據即期彙率推算的遠期利率為f(1,1) = 7.0%， f(2,1) = 9.0%， f(3,1) = 11.1%， f(4,1) = 13.1%。按照平價收益率推算，該債券的價格為105.43。

到期收益率可以通過以下公式用計算器計算出來:

求得到期收益率為8.62%，這是在沒有違約、持有期為5年、再投資率為8.62%條件下債券的預期收益率。但如果遠期利率被假定為未來的即期利率的情況下呢？

我們使用遠期利率作為預期的再投資率，可在第5年年底産生下列預期現金流：

10(1 0.07)(1 0.09)(1 0.111)(1 0.131) 10(1 0.09)(1 0.011)(1 0.131) 10(1 0.111)(1 0.131) 10(1 0.131) 110 ≈ 162.22

因此，預期債券收益率為(162.22 - 105.43)/105.43 = 53.87%，預期年化收益率為9.00% [求解： (1 x)5 = 1 0.5387]。

從這個例子中，我們可以看出，如果我們假設遠期利率為未來的即期利率，預期收益率并不等于YTM。隻有當我們假設收益率曲線是平坦的情況下，才能使到期收益率等于預期收益率。請注意，在剛剛我們使用的公式中，無論到期日在何時，其折現率都是8.62%。

案例6将加強您對各種收益率概念的理解。

案例6 收益率概念

1. 當即期曲線向上傾斜時，遠期曲線應當：

A.位于點曲線上方。

B.位于現貨曲線下方。

C.與點曲線一緻。

2.對于無違約風險債券的到期收益率，下列哪項表述最準确？這種債券的到期收益率：

A.等于債券持有至到期的預期回報率。

B.可以看作各筆現金流的即期利率的幾何平均。

C.如果即期曲線是向上傾斜的、而不是平坦的，則會更接近實際的收益率。

3.當即期曲線向下傾斜時，起始日期的增加導緻遠期曲線:

A.靠近即期曲線。

B.在即期曲線上方，且距離即期曲線越來越遠。

C.在即期曲線下方，且距離即期曲線越來越遠。

解答1:

A是正确的。即期曲線上的點可以看作是給定期限的、單現金流的折現利率，而遠期利率則反映未來時間段之間的邊際變化。

解答2:

B是正确的。債券的價值是将債券所支付現金流按相應的即期利率折現後的現值之和，因此債券的YTM應該是即期利率的加權平均值。

解答3:

C是正确的。這個答案來自于公式6所示的遠期利率模型。如果即期曲線向下傾斜（或向上傾斜），增加起始日期(T*)将會産生在即期曲線下方（或上方）距離更大的遠期曲線。

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