一、遇角需讨論

例1. 已知等腰三角形的一個内角為75°則其頂角為（ ）

A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°

簡析：75°角可能是頂角，也可能是底角。當75°是底角時，則頂角的度數為180°－75°×2=30°；當75°角是頂角時，則頂角的度數就等于75°。所以這個等腰三角形的頂角為30°或75°。故應選D。

說明：對于一個等腰三角形，若條件中并沒有确定頂角或底角時，應注意分情況讨論，先确定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形内角和定理求解。

二、遇邊需讨論

例2. 已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于_________。

簡析：已知條件中并沒有指明5和6誰是腰長誰是底邊的長，因此應由三角形的三邊關系進行分類讨論。當5是等腰三角形的腰長時，這個等腰三角形的底邊長就是6，則此時等腰三角形的周長等于16；當6是腰長時，這個三角形的底邊長就是5，則此時周長等于17。故這個等腰三角形的周長等于16或17。

三、遇中線需讨論

說明：這裡求出來的解應滿足三角形三邊關系定理。

四、遇高需讨論

例4. 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個等腰三角形的頂角的度數。

簡析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為45°，圖2中頂角為135°。

例5. 為美化環境，計劃在某小區内用的草皮鋪設一塊一邊長為10的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。

簡析：在等腰ΔABC中，設AB=10，作CD⊥AB于D，由，可得CD=6。如下圖，當AB為底邊時，AD=DB=5，所以。

說明：三角形的高是由三角形的形狀決定的，對于等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形内；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外。

五、遇中垂線需讨論

例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B=____________。

說明：這裡的圖2最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出所有可能的圖形，這樣才能正确解題。

六、和方程問題的綜合讨論

例7. 已知ΔABC的兩邊AB，AC的長是關于的一元二次方程 的兩個實數根，第三邊BC長為5。

（1）為何值時，ΔABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2）為何值時，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周長。

簡析：（1）略。

（2）若ΔABC是等腰三角形，則有AB=AC，AB=BC，AC=BC這三種情形。方程可化為，即，，顯然，即。當AB=BC或AC=BC時，5是方程的根。當時，代入原方程可得，解得，。

當時，原方程的解為，等腰ΔABC的三邊長分别為5，5，4，周長為14。當時，原方程的解為，等腰ΔABC的三邊長分别為5，5，6，周長為16。

所以當或時，ΔABC是等腰三角形，周長分别為14或16。

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