探究奇妙正方形

分割拼接趣味多

作者：

安徽省靈璧縣黃灣中學(234213)華騰飛

正方形是一種簡單又常見的圖形，本文拟探究與正方形密切相關的分割與拼接的趣味問題。

将一個大一點的正方形剪成n個小正方形,圖1表明n可以等于4. n還可以等于哪些數?(知道多少就寫多少)

探究:n究竟可以等于哪些數呢?

剛開始，大家很容易想到的是n=2²=4 n=3²=9,n=4²=16,…(如圖1,圖2,圖3)

圖1 圖2 圖3

再探究在這個基礎上,還能産生哪些數呢?

世界著名的數學家德·摩根(DeMorgan)曾說過:“數學發明創造的動力不是推理,而是豐富的想象力的發揮.”

學過生物的學生都知道，一種原生蟲的繁衍過程是分裂，為此我們可以把一個正方形想象成一種特殊的“原生蟲”,它的“繁衍”過程也是“分裂”——一個正方形每次分裂為4個小正方形，就得到n=4.在此基礎上讓其中的一個小正方形(圖4中左下角的正方形)再“分裂”，就得到n=4 3=7.這說明每分裂一次,就增加三個小正方形，這樣，隻要能用剪刀将一個正方形剪成6個、7個和8個正方形，整個問題就解決了.因為在這三種分割方法的基礎上，讓其中的一個小正方形“原生蟲”再“分裂”一次，便得到n個可以等于6 3=9,7 3=10,8 3=11.如此重複“分裂”下去，就會出現n可以等于以下各數:

即n=6，7，8，9，10，11，12，13，14...

因此,這個問題就轉化為:設法用剪刀将一個正方形剪成6個、7個和8個正方形的問題，事實上，這是完全可以辦到的.圖4是n=7的情形,圖5是n=6的情形，圖6是n=8的情形.

圖5 圖6

在思考過程中，圖5和圖6是怎樣發現的呢?還是按照德·摩根的意見去辦——數學發明創造的動力不是推理，而是豐富的想象力的發揮.

正方形被想象成一種特殊的“原生蟲”,在“繁衍”過程中，既然有“分裂”(一分為四)，也可以想象還可以有“合成”(四合為一),即将4個連在一起的小正方形合并為一個大正方形.于是，一次“分裂”增加3個正方形,而一次“合并”便減少了三個正方形.由于6=3²-3,因此圖5就這樣被發現了.

圖6(n=8)是怎樣發現的呢?——将9個連在一起的正方形“合成”為一個,通過一次“合成”便減少了8個正方形,而8=4²-8,于是圖6便這樣被發現了.

至此，我們不難想起數學家沃爾森爾(Voltaire)的話:“數學中也有驚人的想象……,再說一遍，阿基米德腦海中的想象遠比古希臘大詩人荷馬頭腦中的想象要豐富的多.”

因此，大家要想學好數學知識，那就要插上思維的翅膀——想象.否則你在思考中是經常會受阻的.

下面還有三個有趣的小問題,請大家認真探讨，并予以解決:

(1)用兩種不同的分割方法,将一個正方形分割成11個正方形.

(2)用兩種或更多種不同的分割方法,将一個正方形分成22個正方形.

(3)說明怎樣将一個正方形分割成3⁵=243個正方形.

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請大家思考幾分鐘，一張圖之後，提供參考答案。(原文無答案)

問題(1)用兩種不同的分割方法,将一個正方形分割成11個正方形.

方法1

方法1：在5×5的方格紙上，有面積為1的正方形8個，面積為4的正方形2個，面積為9的正方形1個，合計11個。

方法2

在6×6的方格紙上，面積為1的正方形有6個，面積為4的正方形有3個，面積為9的正方形有2個，合計11個。

問題(2)用兩種或更多種不同的分割方法,将一個正方形分成22個正方形.

方法1：在5×5的方格紙上把4個正方形合并成一個。即25-3=22

方法2：在4×4的方格紙上，讓2個正方形分裂(一分為四)。即16 3 3=22

問題(3)說明怎樣将一個正方形分割成3⁵=243個正方形.

參考答案：在9×9的方格紙上，讓每個正方形分裂(一分為四)。即81×3=243

著名的德國數學家戴恩(1878~1952)從小就對幾何知識特别有興趣，尤其是對一些圖形的分割、拼接問題更是心愛有加.

一次，當幾何老師在講完正方形的性質後，看到還有十多分鐘的時間，于是他便信手拈來一道幾何問題，用以打發剩下的

圖7

時間.他在黑闆上先畫了一個矩形，如圖7,然後寫道:如何用最簡單的方法将矩形分割成形狀完全相同的兩部分，然後将它們拼接成一個正方形?

令他沒有想到的是,時間僅僅過了3分鐘,聰明的戴恩就将他的答案呈現在老師面前，如圖8所示

圖8

其實，原矩形面積為18x8=144,由此可知所拼的正方形邊長為12.有了這些數據,餘下的工作就是如何巧妙地進行分割以滿足要求。

老師見還有不少時間,于是又說道:“能否将圖7中的矩形分割成3個小矩形(形狀可以不同)後，再拼接成一個正方形呢?”戴恩稍微動了一下腦子，然後又比劃了一下,很快又得出了結果,如圖9所示.

圖9

後來,戴恩又看到一道有關矩形分割的趣味問題，這使戴恩對此着了迷.問題是這樣的:

請将一個5x9的矩形如圖10,分割成15個全等的六邊形.

戴恩看着圖形發5呆，“15個……”他一邊

自言自語，一邊在草稿

圖10

紙上寫道:9x5÷15=3.原來每個分割成的圖像面積皆為3,而面積為3的諸多圖形中，隻有1x3的矩形較為簡單，可題目要求的并不是矩形。

思索良久，他突然想到了方格紙——就是畫函數圖像用的坐标紙，頓時眼前一亮：

正是面積為3的六邊形.接着,他巧妙地将矩形分割成15個

如圖11所示. ，

問題解決後，戴恩又往深處思考:如果矩形換成正方形，它也能分割成15個全等的圖形嗎?如果可能的話， 正方形邊長(整數)至少是多少?

戴恩思考了好幾天,當他請教了幾何老師以後，老師的簡單指點使他茅塞頓開:“你把5x9的矩形長邊按照

比例縮減，或将矩形按比例

延擴，則矩形可變成正方形.”

于是,戴恩将原來面積為3的圖形先依比例轉化為圖12的尺寸，然後再按照前面矩形分割(當然也可反過來用15個圖形進行拼接)，可得圖13顯然，圖中正方形邊長應為45×45,這是滿足這種分割的正方形整數邊長最小者.

相信你從戴恩的分割、拼接正方形的技巧中一定學到了不少東西,思維更豐富了吧!希望大家能夠展開豐富想象力的翅膀，在數學殿堂中展翅翺翔。

圖13

把幾個小正方形剪開拼接成一個大正方形的問題，常常出現在各種智力競賽中.大家往往采用試驗的辦法，可是一般難以奏效.如果能夠靈活地運用勾股定理，則可以巧妙地解決此類問題，現舉例說明，相信定會對你們有所啟迪。

例1 如圖14所示，矩形是由兩個相同的正方形組成，怎樣用最簡單的剪拼方法，把矩形拼成一個大正方形?

分析:設小正方形的邊長為1,則拼接成的大正方形的面積為2,邊長為√2，√2恰好是小正方形的對角線的長。

∵ ∠1 ∠2=90°, ∴最簡單的剪拼方法是:按圖

第76頁 中

中的虛線剪兩刀後拼接即可.

例2 把五個全等的小正方形排在一起，如圖15所示.怎樣用最簡單的剪拼方法,把其形拼成一個大正方形?

分析:設每個小正方形的面積為1,則所要拼接成的大正方形的面積為5，邊長為√5，而√5是邊長分别為1、2的長方形的對角線。

容易證明∵∠1=∠2，∠1 ∠3=90°,故最簡單的剪拼方法是:隻要按照圖15中的虛線剪兩刀，便可拼接成一個大正方形.

例3 如圖16所示，邊長為a、b的兩個正方形放在一起，怎樣用最簡單的剪拼方法，把其拼成一個大正方形?

分析:由于拼成後的正方形的面積為a² b²，邊長為

為此可以在較大的正方形的一邊取一點E,使AE=b,連接BE,則BE=

，這樣便很容易得出:EF=a

連接EG,則EG=

，∵∠1=∠3, ∵∠2 ∠3=90°，故最簡單的剪拼方法是:隻要按照圖16中的虛線剪兩刀，便可拼接成一個大正方形.

從上述幾例可以看出,把若幹個小正方形剪開，拼接成面積為A的大正方形的思考方法是:首先從數量上考慮

(b、c是一個直角三角形的兩直角邊長)，√A為斜邊長,也就是正方形的邊長.然後則要考慮剪切線必須相互垂直,可以利用直角三角形的性質來研究垂直關系,從而确定剪切的位置.

例4 如圖17所示,是一個長為2a,寬為2b(a>b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,将其分成4塊形狀和大小都一樣的小長方形，然後按圖18所示的那樣拼接成一個正方形，則中間空的部分的面積是( ).

圖17 圖18

A. ab B.(a b)² C.(a-b)² D. a²-b²

分析:中間空的部分是一個正方形,要求其面積，隻需知道正方形的邊長即可.

解:中間空的部分是一個邊長為a-b的正方形，其面積為(a-b)²，應選C.

點評:求正方形的面積,也利用大正方形的面積減去4個矩形的面積，即(a b)²-4ab，然後進行因式分解。同時這也可以得到一個等式(a-b)²=(a b)²-4ab.

例5 (2019紹興)把邊長為2的正方形紙片ABCD分割成如圖19的四塊，其中點o為正方形的中心，點E、F分别為AB、AD的中點.用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形MNPQ(要求這四塊紙片不重疊無縫隙)， 則四邊形MNPQ的周長是______.

分析:根據要求所拼的圖形如圖所示，圖20(1)中四邊形的周長為1 1 1 √2 1 2 2 √2=8 2√2;

圖20(2)中四邊形的周長為1 1 2 1 1 1 2 1=10;

圖20(3)中四邊形的周長為1 √2 √2 2 1 2=6 2√2.

圖20

綜上所述，四邊形MNPQ的周長為10,6 2√2或8 2√2.

練習:(2015河北)如圖21是甲、乙兩張不同的矩形紙片,将它們分别沿着虛線剪開後,各自要拼接一個與原來面積相等的正方形,則( ).

圖21

A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以

C.甲不可以,乙可以 D.甲可以，乙不可以

答案 A

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文章來源：

中小學數學

2022年1-2月中旬(初中)

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