高中數學抛物線基礎知識速記-tft每日頭條

高中數學抛物線基礎知識速記

教育更新时间:2024-08-11 08:56:58

結論1、過抛物線的焦點F的直線l交抛物線于A、B兩點，設

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，O為原點，則有：

（1）

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；（2）

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；（3）

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；（4）

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。

結論2、直線l交抛物線于A（

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）、B（

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）兩點，O為原點。若OA⊥OB，則直線l經過定點（2p，0），

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，反之亦然。

例1、過抛物線

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的焦點F，作一直線交抛物線于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分别是p、q，則

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等于

A. 2a

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C. 4a

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解：将抛物線方程

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，化為

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y，從而由結論1中的（4）知，本題正确答案應選C。

例2、設抛物線E為，AB和CD為過焦點F的弦。求證：（1）

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；（2）以AB與CD為直徑的兩圓的公共弦必過原點。

證明：（1）由結論1中的（3）知

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。

（2）設A、B、C（

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）、D（

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），

則以AB為直徑的圓的方程為

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，

以CD為直徑的圓的方程為

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兩式相減并整理得公共弦方程：

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由結論1中的（1）（2）知：

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則公共弦方程中常數項為0，故公共弦必過原點。

例3、設抛物線的焦點為F，經過點F的直線交抛物線于A、B兩點，點C在抛物線的準線上，且BC//x軸。證明：直線AC經過原點O。

證明：設A、B，由結論1中的（2）知

∵BC//x軸，且點C在抛物線的準線上，

∴點C的坐标為

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則直線AC經過原點O。

例4、已知抛物線

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，動直線l交抛物線于兩點A、B，且，O為原點，O在l上的射影為H。

（1）求點H的軌迹方程。

（2）設過A、B、O三點的圓的圓心為C，直線l的傾斜角的範圍為

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，求直線OC的斜率的取值範圍。

解：（1）因為，

由結論2知：直線l經過定點M（0，2p）。

由OH⊥l，得

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設H（x，y），則

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∴所求點H的軌迹方程為：

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（2）因為，由結論2知：OA⊥OB，則圓心C為AB的中點，

故可設直線l方程為：

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，

代入抛物線方程消去y得

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由中點坐标公式，求得C（pk，

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），

則

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又由題設知：

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，從而求得

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