2022年廣東省中山市中考數學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，隻有一項是符合題目要求的．

1．（3分）|﹣2|＝（　　）

A．﹣2 B．2 C．

D．

2．（3分）計算22的結果是（　　）

A．1 B．

C．2 D．4

3．（3分）下列圖形中有穩定性的是（　　）

A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形

4．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝40°，則∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

5．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分别為AB，AC的中點，則DE＝（　　）

A．

B．

C．1 D．2

6．（3分）在平面直角坐标系中，将點（1，1）向右平移2個單位後，得到的點的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）

7．（3分）書架上有2本數學書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）如圖，在▱ABCD中，一定正确的是（　　）

A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC

9．（3分）點（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數y＝

圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是（　　）

A．y1 B．y2 C．y3 D．y4

10．（3分）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr．下列判斷正确的是（　　）

A．2是變量 B．π是變量 C．r是變量 D．C是常量

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．

11．（3分）sin30°＝　 　．

12．（3分）單項式3xy的系數為 　 　．

13．（3分）菱形的邊長為5，則它的周長是 　 　．

14．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x a＝0的根，則a＝　 　．

15．（3分）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結果保留π）為 　 　．

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分．

16．（8分）解不等式組：

．

17．（8分）先化簡，再求值：a

，其中a＝5．

18．（8分）如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别為D，E．求證：△OPD≌△OPE．

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．

19．（9分）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？

20．（9分）物理實驗證實：在彈性限度内，某彈簧長度y（cm）與所挂物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx 15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所挂物體質量的數量關系．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）當彈簧長度為20cm時，求所挂物體的質量．

21．（9分）為振興鄉村經濟，在農産品網絡銷售中實行目标管理，根據目标完成的情況對銷售員給予适當的獎勵，某村委會統計了15名銷售員在某月的銷售額（單位：萬元），數據如下：

10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8

（1）補全月銷售額數據的條形統計圖．

（2）月銷售額在哪個值的人數最多（衆數）？中間的月銷售額（中位數）是多少？平均月銷售額（平均數）是多少？

（3）根據（2）中的結果，确定一個較高的銷售目标給予獎勵，你認為月銷額定為多少合适？

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．

22．（12分）如圖，四邊形ABCD内接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．

（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

（2）若AB＝

，AD＝1，求CD的長度．

23．（12分）如圖，抛物線y＝x2 bx c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．

（1）求該抛物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐标．

2022年廣東省中山市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，隻有一項是符合題目要求的．

1．（3分）|﹣2|＝（　　）

A．﹣2 B．2 C．

D．

【分析】根據絕對值的意義解答即可．

【解答】解：根據絕對值的意義：|﹣2|＝2，

故選：B．

【點評】本題主要考查了絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解答本題的關鍵．

2．（3分）計算22的結果是（　　）

A．1 B．

C．2 D．4

【分析】應用有理數的乘方運算法則進行計算即可得出答案．

【解答】解：22＝4．

故選：D．

【點評】本題主要考查了有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方運算法則進行求解是解決本題的關鍵．

3．（3分）下列圖形中有穩定性的是（　　）

A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形

【分析】根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性即可得出答案．

【解答】解：三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，

故選：A．

【點評】本題考查了三角形的穩定性，掌握三角形具有穩定性是解題的關鍵．

4．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝40°，則∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】利用平行線的性質可得結論．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠1＝40°．

故選：B．

【點評】本題考查了平行線的性質，掌握“兩直線平行，同位角角相等”是解決本題的關鍵．

5．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分别為AB，AC的中點，則DE＝（　　）

A．

B．

C．1 D．2

【分析】由題意可得DE是△ABC的中位線，再根據三角形中位線的性質即可求出DE的長度．

【解答】解：∵點D，E分别為AB，AC的中點，BC＝4，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝

BC＝

×4＝2，

故選：D．

【點評】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線的定義和性質是解決問題的關鍵．

6．（3分）在平面直角坐标系中，将點（1，1）向右平移2個單位後，得到的點的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）

【分析】根據平面直角坐标系中點的坐标的平移特點解答即可．

【解答】解：将點（1，1）向右平移2個單位後，橫坐标加2，所以平移後點的坐标為（3，1），

故選：A．

【點評】本題主要考查了平面直角坐标系中點的坐标，熟練掌握點的平移規律是解答本題的關鍵．

7．（3分）書架上有2本數學書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】應用簡單随機事件概率計算方法進行計算即可得出答案．

【解答】解：根據題意可得，

P（從中任取1本書是物理書）＝

．

故選：B．

【點評】本題主要考查了概率公式，熟練掌握簡單随機事件概率的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．

8．（3分）如圖，在▱ABCD中，一定正确的是（　　）

A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC

【分析】根據平行四邊形的性質即可得出答案．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，

故選：C．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對邊相等的性質是解決問題的關鍵．

9．（3分）點（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數y＝

圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是（　　）

A．y1 B．y2 C．y3 D．y4

【分析】根據k＞0可知增減性：在每一象限内，y随x的增大而減小，根據橫坐标的大小關系可作判斷．

【解答】解：∵k＝4＞0，

∴在第一象限内，y随x的增大而減小，

∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數y＝

圖象上，且1＜2＜3＜4，

∴y4最小．

故選：D．

【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的圖象的增減性是解答此題的關鍵．

10．（3分）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr．下列判斷正确的是（　　）

A．2是變量 B．π是變量 C．r是變量 D．C是常量

【分析】根據變量與常量的定義進行求解即可得出答案．

【解答】解：根據題意可得，

在C＝2πr中．2，π為常量，r是自變量，C是因變量．

故選：C．

【點評】本題主要考查了常量與變量，熟練掌握常量與變量的定義進行求解是解決本題的關鍵．

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．

11．（3分）sin30°＝　

　．

【分析】熟記特殊角的三角函數值進行求解即可得出答案．

【解答】解：sin30°＝

．

故答案為：

．

【點評】本題主要考查了特殊角三角函數值，熟練掌握特殊角三角函數值進行求解是解決本題的關鍵．

12．（3分）單項式3xy的系數為 　3　．

【分析】應用單項式的定義進行判定即可得出答案．

【解答】解：單項式3xy的系數為3．

故答案為：3．

【點評】本題主要考查了單項式，熟練掌握單項式的定義進行求解是解決本題的關鍵．

13．（3分）菱形的邊長為5，則它的周長是 　20　．

【分析】根據菱形的性質即可解決問題；

【解答】解：∵菱形的四邊相等，邊長為5，

∴菱形的周長為5×4＝20，

故答案為20．

【點評】本題考查菱形的性質、解題的關鍵是記住菱形的四邊相等，屬于中考基礎題．

14．（3分）若x＝1是方程x2﹣2x a＝0的根，則a＝　1　．

【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x a＝0中，計算即可得出答案．

【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x a＝0中，

得1﹣2 a＝0，

解得a＝1．

故答案為：1．

【點評】本題主要考查了一元二次方程的解，應用一元二次方程的解的定義進行求解是解決本題的關鍵．

15．（3分）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結果保留π）為 　π　．

【分析】應用扇形面積計算公式進行計算即可得出答案．

【解答】解：S＝

＝

＝π．

故答案為：π．

【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算方法進行求解即可得出答案．

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分．

16．（8分）解不等式組：

．

【分析】分别求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．

【解答】解：

，

由①得：x＞1，

由②得：x＜2，

∴不等式組的解集為1＜x＜2．

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．

17．（8分）先化簡，再求值：a

，其中a＝5．

【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法則計算，得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝

＝2a 1，

當a＝5時，原式＝10 1＝11．

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

18．（8分）如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别為D，E．求證：△OPD≌△OPE．

【分析】根據垂直的定義得到∠ODP＝∠OEP＝90°，即可利用AAS證明△OPD≌△OPE．

【解答】證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP＝∠OEP＝90°，

∵∠AOC＝∠BOC，

∴∠DOP＝∠EOP，

在△OPD和△OPE中，

，

∴△OPD≌△OPE（AAS）．

【點評】此題考查全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．

19．（9分）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？

【分析】設有x人，該書單價y元，根據“如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則少了4元錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．

【解答】解：設學生有x人，該書單價y元，

根據題意得：

，

解得：

．

答：學生有7人，該書單價53元．

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正确列出二元一次方程組是解題的關鍵．

20．（9分）物理實驗證實：在彈性限度内，某彈簧長度y（cm）與所挂物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx 15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所挂物體質量的數量關系．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）當彈簧長度為20cm時，求所挂物體的質量．

【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx 15中，即可算出k的值，即可得出答案；

（2）把y＝20代入y＝2x 15中，計算即可得出答案．

【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx 15中，

得19＝2k 15，

解得：k＝2，

所以y與x的函數關系式為y＝2x 15（x≥0）；

（2）把y＝20代入y＝2x 15中，

得20＝2x 15，

解得：x＝2.5．

所挂物體的質量為2.5kg．

【點評】本題主要考查了函數關系式及函數值，熟練掌握函數關系式及函數值的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．

21．（9分）為振興鄉村經濟，在農産品網絡銷售中實行目标管理，根據目标完成的情況對銷售員給予适當的獎勵，某村委會統計了15名銷售員在某月的銷售額（單位：萬元），數據如下：

10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8

（1）補全月銷售額數據的條形統計圖．

（2）月銷售額在哪個值的人數最多（衆數）？中間的月銷售額（中位數）是多少？平均月銷售額（平均數）是多少？

（3）根據（2）中的結果，确定一個較高的銷售目标給予獎勵，你認為月銷額定為多少合适？

【分析】（1）根據銷售成績統計，即可得出銷售4萬元和8萬元的人數，即可補充完整圖形；

（2）根據衆數，中位數，算術平均數的計算方法進行求解即可得出答案；

（3）根據（2）中的結論進行分析即可得出答案．

【解答】解：（1）補全統計圖，如圖，

；

（2）根據條形統計圖可得，

衆數為：4（萬元），中位數為：5（萬元），平均數為：

＝7（萬元），

（3）應确定銷售目标為7萬元，激勵大部分的銷售人員達到平均銷售額．

【點評】本題主要考查了條形統計圖，中位數，衆數，算術平均數，熟練掌握條形統計圖，中位數，衆數，算術平均數的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．

22．（12分）如圖，四邊形ABCD内接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．

（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

（2）若AB＝

，AD＝1，求CD的長度．

【分析】（1）根據圓周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；

（2）根據勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過程如下：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴

，

∴AB＝BC，

又∵∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝

，

∴AC＝2，

在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，

∴CD＝

．

即CD的長為：

．

【點評】本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握相關性質定理是解答本題的關鍵．

23．（12分）如圖，抛物線y＝x2 bx c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．

（1）求該抛物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐标．

【分析】（1）根據A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物線y＝x2 bx c，即可求解；

（2）過Q作QE⊥x軸于E，設P（m，0），則PA＝1﹣m，易證△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性質即可求出QE的長，又因為S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，進而得到△CPQ面積和m的二次函數關系式，利用二次函數的性質即可求出面積最大值．

【解答】（1）∵抛物線y＝x2 bx c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，

∴B（﹣3，0），

∴

，

解得

，

∴抛物線的解析式為y＝x2 2x﹣3；

（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，

設P（m，0），則PA＝1﹣m，

∵y＝x2 2x﹣3＝（x 1）2﹣4，

∴C（﹣1，﹣4），

∴CF＝4，

∵PQ∥BC，

∴△PQA∽△BCA，

∴

，即

，

∴QE＝1﹣m，

∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA

＝

PA•CF﹣

PA•QE

＝

（1﹣m）×4﹣

（1﹣m）（1﹣m）

＝﹣

（m 1）2 2，

∵﹣3≤m≤1，

∴當m＝﹣1時 S△CPQ有最大值2，

∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐标為（﹣1，0）．

【點評】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象和性質，待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是抓住圖形中某些特殊的數量關系和位置關系．此題綜合性較強，中等難度，是一道很好的試題．

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