對數

讓計算變得簡單

歐拉公式e^(iπ) 1=0，被稱為數學中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五個元素還分别被比喻成射雕英雄傳裡的五大高手：東邪西毒南帝北丐中神通。

鑒于常常有人在後台問超模君，e和π為什麼常常會出現在似乎不相關的領域？e和π之間有什麼聯系嗎？e^π和π^e誰大？之類的問題。

今天超模君就給大家扒一扒e和π。

e的出身

說到e，又得提歐拉了，哪哪都有他，真是一個神奇的男子。自然數e正是以

Leonhard Euler(萊昂納德·歐拉)命名的，取的是Euler的首字母“e ”。

但，事實上第一個發現e的人不是歐拉，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），伯努利是不是很熟悉？

在17~18世紀，伯努利家族是一個學術世家，雅可比·伯努利是約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而約翰·伯努利則是歐拉的數學老師。

扯遠了，我們回到e。要去理解e的話，我們可以從生活中常見的例子講起，就是銀行利率與收益的問題。

假如你有1塊錢存入銀行，銀行同意付給你100%的年利率。

那麼當然到了一年後，你手裡的錢就增長為（1 100%）=2塊錢；

現銀行同意按複利計算，把一年期的年利率拆成兩個半年期利率50%，那麼年底到手的錢為：（1 50%）×（1 50%）=2.25塊錢；

現銀行按照季度計算複利，那麼年底到手的錢為：（1 25%）×（1 25%）×（1 25%）×（1 25%）=2.44塊錢；

我們可以看到分的越細，總收入越多。如果把這個複利計算過程繼續細分，按天算，年底到手的錢為：

如果在細分為時分秒呢？經過叠代運算，可以得到一下數值：

可以發現結算利率期數n越大，年底到手的錢越多，最終無限接近e值。

也就是說，本金一塊錢定了，銀行的年利率（100%）定了，無論分多少期結算利息，年底到手的錢無限接近一個值（2.7183）。

e的本質含義就是累積增長的極限，e寫成高等數學微積分的形式，也是e的定義式為：

π的出身

說到圓周率就簡單了，不就是圓的周長和直徑的比值嘛。

圓周率π最早提出來是在1748年，歐拉的代表作《無窮小分析引論》出版，在這本著作裡，歐拉建議用符号“π”來表示圓周率，并且直接在裡面使用了π。在歐拉的積極倡導下，π才成為了圓周率的代名詞。

雖然π的定義很簡單，但是關于圓周率的計算卻曆經了幾千年，都還沒有算到盡頭呀。

最近的記錄是今年，3月14日，谷歌宣布圓周率現已到小數點後31.4萬億位。

關于圓周率的計算方法五花八門，甚至到了無奇不有的境界（超模君在去年盤點過的算法傳送門）。

說到圓周率還有一個不得不提的人，就是我國的數學家祖沖之。

公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精确到小數點後7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927。正确位數達7位數，在那個時候可以說是非常精準，在之後的900多年都沒人打破記錄。

祖沖之牛批！

e和π的那些事兒

講完了e和π的出身了，那麼e個π之間是否存在什麼關系呢？

畢竟有時候會出現這樣的現象：帶e的定積分積出來裡頭有π，而三角函數的積分有一些積出來裡頭有e。

其實e和π在本質上是沒有任何關系的。

之所以出現“帶e的定積分積出來裡頭有π，而三角函數的積分有一些積出來裡頭有e”這種情況，是因為傅裡葉展開與e有關的函數，如e^x或者lnx在傅立葉展開後都可以變成一個三角函數的級數，隻要取好合适的積分區間自然會出現π。

加上歐拉用了一條公式把它們巧妙地連接在一起，那條公式就是非常出名的歐拉公式：e^(iπ) 1=0。這讓很多人誤以為，e和π本來就存在着某種關系。

也有人會不解：為什麼e和π會常常出現在那些似乎不太相關的學科呢？比如說物理化學等學科。

那是因為涉及到微積分和指數對數的運算，e和π都喜歡來湊熱鬧。高斯曾經說過，數學是科學之王。王自然掌控這一切，數學掌控着科學。

e^π 和π^e哪個大？

說到了e和π，自然逃不掉e^π和π^e哪個大的問題。

超模君也準備了好幾個比較的方法，最簡單的方法當然是計算器啦，拿出你的科學計算器，輸入e^π和π^e，即可得到對應的值：

顯然，e^π要大于π^e。

好了，今天就講到這了，别鬧，超模君才不會這麼小兒科的方法了，下面給大家展示一下逼格稍微高一點的解題方法：

e的定義法，你看這名字，逼格就上來了，顧名思義，用e的定義去解題。

由

得

令

則

即

這個方法，看起來稍微有點複雜，沒有那麼好理解。

為了讓大夥能看明白，那來個簡單的構造函數求導法：

設

求導得

在

嚴格單調遞減，因此

可得

這個方法就容易理解一點了。在對比e^π 和π^e的大小的方法中，取對數求導法才是最簡單明了的計算方法。

18世紀，歐拉發現了指數與對數的互逆關系。在1770年出版的一部著作中，歐拉首先使用來定義

，他指出：“對數源于指數”。

對數曾經和解析幾何、微積分被公認是17世紀數學的三大重要成就，許多科學家對對數的提出表示高度的贊揚。

這裡的取對數求導法可見一斑。

先分别取對數

設

則

即

乍一看，e^π 和π^e的值相差很近，但用簡單的加減乘除法根本無法完成大小的比較，對數的出現讓這一切變得簡單。

本來還以為e^π 和π^e哪個大是什麼大難題，這不很簡單嗎？

搞得多難似的，超模君8歲的表妹都會比較了，對比e^π 和π^e大小也就是一個一分鐘不到的小問題嘛！

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