實數進行無限次平方的規律，大家都知道吧。絕對值小于1的實數，無窮次平方之後，結果趨于或者等于0. 正負1進行無窮次平方的結果等于1，絕對值大于1的實數，進行無窮次平方的結果會趨于正無窮大。那麼在複數範疇又會是怎麼樣的呢？

我們知道i的平方等于-1，因此正負i進行無窮次平方的結果等于1. 所以bi進行無窮次平方的結果由實數b決定。但是a bi進行無窮次平方的結果就變得有點複雜了。

可以發現，當a=b時，a bi進行n次平方後，可以得到b'i的形式。其中b'是2ab的n-1次平方。因此結果由實數2ab決定。

當a^2-b^2=2ab時，a bi進行n次平方後，也可以得到b"i的形式。其中b"i是8a^2b^2的n-2次平方。因此結果由實數8a^2b^2決定。

甚至可以延伸得到，當複數的實部和虛部系數相等時，複數都可以通過2次平方，使之變成實數。現在有一個問題，就是是否所有複數，都可以進行有限次平方，使結果變成實數。答案是否定的。

因為存在這麼兩個神奇的複數，記為α和β，它們滿足α^2=β, 且β^2=α. 即對它們進行無窮次平方時，會形成在這兩個複數間的一個循環關系。我們可以設α=a bi, β=c di. 則有：

a^2-b^2=c, 2ab=d, 且c^2-d^2=a, 2cd=b. 解得：a=c=-1/2(舍去正值), b=-d=正負根号3/2.

因此這兩個複數就是(-1加減i根号3)/2. 檢驗一下，可以發現，(-1 i根号3)/2的平方等于(-1-i根号3)/2，而(-1-i根号3)/2的平方又等于(-1 i根号3)/2。

下面介紹一下，老黃是怎麼發現這兩個數字的(應該前人已經發現了，但這并不妨礙老黃個人的探究)。在解五次方程x^5 x^4 x^3 x^2 x 1=0時，取它的相反根方程：-x^5 x^4-x^3 x^2-x 1=0。并且将這兩個方程相乘，就得到：x^10 x^8 x^6-x^4-x^2-1=0，換元使y=x^2，就有五次方程y^5 y^4 y^3-y^2-y-1=0.

由原方程因式分解得(x^3 1)(x^2 x 1)=0, 由換元後的方程因式分解得到(y^3-1)(y^2 y 1)=0. 不難發現，二次方程x^2 x 1=0的根的平方，仍是x^2 x 1=0的根。解得x=(-1加減i根号3)/2. 因此可以知道，這兩個複數的平方互為等于彼此。

不僅如此，x^2-x 1=0的兩個根(1加減i根号3)/2平方後，也會步入這個循環之中。這是老黃在研究五次方程的解法時的一個小發現。老黃覺得挺有意思的，因此寫出來和大家分享一下。

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