阿基米德折線定理結論-tft每日頭條

阿基米德折線定理結論

生活更新时间:2024-12-19 20:00:56

阿基米德用窮竭法推導出：抛物線下的面積與其外接長方形的面積之比是1:3,今天我們就來讨論X^3曲線下的幾何面積

阿基米德折線定理結論（阿基米德思想的産物）1

前面我們已經讨論了抛物線x^2下的面積，用的不是純代數下的微積分，而是可視化的幾何原理，這種方法是從另一種數學思維出發得到與微積分原理相同的結論。

接着我們讨論X^3下的面積，同樣不是微積分去計算，而是優美的幾何原理。

首先，我們用初等數學可以求出X^3曲線上任意點的斜率，也就是導數，它等于3X^2.

阿基米德折線定理結論（阿基米德思想的産物）2

即：tanθ=3X^2，那麼切線與X軸所圍成的直角三角形的兩條直角邊長就是X^3, X/3。

切線與X軸交點的橫坐标就是X-X/3=2X/3

現在我們做出X^3曲線的所有切線，這就形成了完美的切線區域“切線簇”我們将所有的切線延長至與Y軸相交，以X軸為界 T區域的直角三角形和X軸下方的直角三角形相似，對邊相似比為1:2，面積之比就是1:4

阿基米德折線定理結論（阿基米德思想的産物）3

這是一個有趣的結論，為什麼呢？因為X軸上方的切線區域與X軸下方的切線區域面積之比就是1:4(因為對邊之比，也就是所謂的切線之比是1:2)，那麼X軸上方的切線區域與整個切線區域的面積之比就是1:9

由切線區域我們得到一個重要的等式：9S=S 4T,我們得到S=T/2

因為T是直角三角形，所以T的面積等于X/3*X^3*1/2=X^4/6

那麼S的面積就等于:X^4/12=T/2

最終得到X^3曲線下的面積等于S T=X^4/6 X^4/12=X^4/4

這與微積分所得到的結果一緻，

我們還可以得到一個重要的結論：X^3曲線下的面積與其外接長方形的面積之比是1:4

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