向量能夠進入數學并得到發展，首先應從複數的幾何表示談起．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐标平面上的點來表示複數 ，并利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算．把坐标平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．
人們逐步接受了複數，也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學．
但複數的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂的三維“複數”以及相應的運算體系．
19世紀中期，英國數學家哈密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎．随後，電磁理論的發現者，英國的數學、物理學家麥克思韋爾把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了向量分析．
三維向量分析的開創，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀80年代各自獨立完成的．他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立于任何四元數．
他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積．并把向量代數推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優良的數學工具．
課本上讨論的向量是一種帶幾何性質的量，除零向量外，總可以畫出箭頭來表示方向．但是在高等數學中還有更廣泛的向量．例如，把所有實系數多項式的全體看成一個多項式空間，這裡的多項式都可看成一個向量．在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．
這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數學對象或物理對象．這樣，就可以把線性代數方法應用到廣闊的自然科學領域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數學中最基本的概念和線性代數的中心内容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用．而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型．
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