解方程難不難?最簡單的多項式方程的解——被稱為“單位根”，它們有一個優雅的結構，數學家們現在仍然用它來研究一些數學上最偉大的開放性問題，我來為大家科普一下關于解方程難不難?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

解方程難不難

最簡單的多項式方程的解——被稱為“單位根”，它們有一個優雅的結構，數學家們現在仍然用它來研究一些數學上最偉大的開放性問題。

如果你上過代數或物理課，你就會遇到抛物線，這是一條可以模拟小球在空中抛物軌迹的簡單曲線。抛物線最重要的是它的頂點即最高點或最低點，我們可以用很多數學方法可以找到它。你可以嘗試頂點式，或者對稱軸，甚至微積分。

但上周，我的一個學生用一種特别簡明的方式找到了抛物線的頂點。她說：“因為根是關于頂點對稱的，分别是 x = 1 和 x = 7 ，所以頂點在 x = 4 。”她這樣做是因為抛物線是二次多項式的圖形，而這個多項式的根（使多項式等于 0 的值）具有某種她可以利用的結構。

每個多項式的根都有一個結構，數學家們研究這些結構并尋找機會利用它們，就像我的學生研究抛物線一樣。說到多項式的根，沒有比“單位根”更有結構性的了。

單位根就是 (x^n) – 1 形式的多項式的根。例如，當 n = 2 時，我們得到二次多項式 x² – 1 。要找到它的根，隻需讓它等于 0 ，然後求解方程:

x² – 1 = 0

也許你還記得因式分解公式：a² – b² = ( a – b )( a b ) 。這裡分解為：

x² – 1² = ( x – 1 )( x 1 )

從而可以得到

( x – 1 )( x 1 ) = 0

現在你得到了一個等于 0 的乘積，你可以調用代數中最不受重視的規則之一——“零乘積性”：兩個實數相乘為 0 的唯一方法是其中一個為 0 。如果 ( x - 1 )( x 1 ) = 0 ，那麼可以得到 x − 1 = 0 或者 x 1 = 0 。當 x = 1 時，第一個方程成立，當 x = −1 時，第二個方程成立。所以， 1 和 −1 是上述方程的兩個單位根，這兩個根和 1 的兩個平方根是一樣的。

對于任意 n ，你都能找到 n 個單位根，也就是方程 x^n – 1 = 0 的解。這些單位根有一個非常豐富的結構，它與高中數學中的三角學和平面旋轉，以及一些現代數學中偉大的未解問題的研究相關。

當 n = 2 時，兩個根 1 和 −1 有一個對稱結構，這與我的學生如何找到它的頂點有關。你可以在方程 x⁴ = 1 的解中看到更多的結構。因為 1⁴ = 1 和 ( −1 )⁴ = 1, x = 1 和 x = −1 都滿足這個方程，所以它們是四次單位根。但實際上還有兩個根，你可以像我們上面做的那樣用代數方法找到它們:

x⁴ = 1
x⁴ – 1 = 0

因為 x⁴ 和 1 都是完全平方式，你也可以在這裡使用平方差公式:

x⁴ – 1 = ( x²)² – 1² = ( x² – 1 )( x² 1 )

這就把方程 x⁴ – 1 = 0 變成：

( x² – 1 )( x² 1 ) = 0

x² – 1看起來應該很熟悉：我們在求解二次單位根時把它分解了。從而可以得到：

( x – 1 )( x 1 )( x² 1 ) = 0

我們現在不能繼續分解了。表達式 x² 1 是實數域不可約的，這意味着它不能被分解成隻涉及實數的更低次的多項式乘積。但是我們仍然可以應用零乘積性質。如果這三個數相乘等于 0 ，那麼其中一個一定是 0 。也就是 x - 1 = 0 ，x 1 = 0 ，或者 x² 1 = 0 。

前兩個方程告訴我們：x = 1 和 x = −1 是方程 x⁴ = 1 的解，也就是四次單位根。那麼該怎麼處理 x² 1 = 0 呢?

如果你知道複數，那麼你就知道虛數單位 i 。i 滿足這個方程，因為它的定義式為 i² = −1 。i 不是實數，因為沒有實數的平方是負的，但事實證明大多數單位根都是複數。由于 x = i 滿足 x² 1 = 0 ，所以它肯定是一個四次單位根。你可以很容易地用一些指數規則來驗證這一點：既然 i² = −1 ，那麼 i⁴ = ( i²)² = ( −1 )² = 1 。由于複數遵循實數的大多數規律，所以 ( −i )² = i² 是成立的， 從而可以看出 x = −i 也滿足 x² 1 = 0，即 x = −i 也是四次單位根。

這四個數 1 , −1 , i 和 −i ，都是四次單位根，而且這四個根并不是偶然的。代數基本定理告訴我們，每個 n 次多項式都有 n 個複數根。所以方程 x^n = 1 有 n 個複數解，這些都是 n 次單位根。(因為實數也是複數，所以如 1 和 −1 這樣的實數解也都包含在複數解中。)

對于給定的 n ， n 次單位根具有一些顯著的性質。從幾何上來看，如果你畫出複數平面上的 n 個單位根，你會發現它們圍繞以原點為中心的單位圓等距分布。

複平面上的 n 個單位根的圖

這種幾何結構與三角學中的重要思想密切相關，比如正弦和餘弦的角和差公式、平面旋轉理論，以及自然對數函數的底 e 。這個幾何也與一個有趣的代數性質有關：對于任意 n ， n 個單位根的和是 0 。

對于 n = 2 ，這很明顯:兩個二次單位根的和是1 ( −1 ) = 0 。我們也清楚地看到了四個四次單位根之和為 0 :

1 i ( −1 ) ( −i ) = 0

在這兩種情況下，很容易看出為什麼總和是 0 ：單位根成對出現，當你把它們加起來時，它們就消掉了。

然而，即使根不是成對出現的，這個結果仍然成立。例如，三個三次單位根是 1 、−1/2 √3 i /2 和 −1/2 − √3 i /2 。兩個非實數根沒有消掉，它們的和是 −1 ，然後和剩下的實數單位根抵消，最後得到 0 ：

1 ( −1/2 √3 i /2 ) ( −1/2 − √3 i /2 ) = 0

你可以用幾何方法來證明這個性質，不過還有一個簡明的代數證明表明這個性質是正确的。我們把三個三次單位根稱為1， α 和 β 。這三個數都滿足三次方程：

x³ – 1 = 0

因為你知道這個三次方程的根，所以左邊的多項式可以寫成：

( x − 1 )( x − α )( x − β ) = 0

如果你用分配律把這個式子乘幾次，你會得到下面的結果：

x³ − ( 1 α β ) x² ( α β αβ ) x − αβ= 0

由于我們已經知道多項式乘積應該對應于怎樣的三次多項式：x³ – 1 。所以 x³ – ( 1 α β ) x² ( α β αβ ) x – αβ 等于 x³ – 1 ，這意味着左邊 x² 項系數 1 α β，等于右邊 x²項系數,即 0 。因此 1 α β = 0 ，所以三個三次根之和為 0 。

這個論證推廣并産生了著名的結果——“韋達定理”，它給出了多項式的根與系數的關系。韋達定理中的一條是指，在一個以 x^n 開頭的多項式中，多項式根的和等于 x^n – 1 的系數的負數。類推到 x^n– 1 形式，其以 x^n 開頭， x^n– 1 的系數為 0 ，所以多項式的根之和為 0 。

當涉及到單位根時，還有一個更值得注意的代數結果。對于給定的 n ，如果 α 和 β 是 n 次單位根，那麼 α × β 也是 n 次單位根！如果 α 和 β 都是 n 次單位根，這時可以得到 α^n = 1 ， β^n = 1。那麼 (α × β)^n 會怎樣呢？

一般來說，取複數的幂時需要格外小心，但因為假設 n 次單位根的 n 總是一個整數，指數的基本規則仍然适用，比如這個：

(α × β)^n = α^n × β^n

所以 (α × β)^n = α^n × β^n= 1 × 1 = 1 。這意味着 α × β 滿足方程 x^n = 1 ，所以是 n 次單位根。例如，當 n = 4 時，如果你把兩個單位根 i 和 −1 相乘，你會得到另一個四次單位根：i × (−1) = −i 。當 n = 3 時，你還可以驗證兩個非實數根與實數根的乘積：

( −1/2 √3 i /2 ) × ( −1/2 − √3 i /2 ) = 1

這個性質在n次單位根上産生了一個極其豐富的代數結構：一個“群”結構。

群是由一組元素（比如這裡的n次單位根）和一個運算（比如這裡的乘法）組成，并滿足一些熟悉的性質的代數結構。群的一個屬性是封閉性，正如我們剛剛演示過的，封閉性意味着兩個 n 次單位根的乘積總是另一個 n 次單位根。群的另一個重要性質是逆元存在性。這意味着對于任意一個 n 次單位根而言，總存在另一個 n 次單位根使得這兩根的乘積是 1 。例如，當 n = 4 時， i 的倒數是 −i ，因為 i × ( −i ) = −( i²) = −( −1 ) = 1 ，在三階單位根中， −1/2 √3 i /2 的倒數恰好是 −1/2 − √3 i /2 。

群的研究是伽羅瓦理論的基礎，伽羅瓦理論用來研究與多項式及其根相關的抽象代數結構，屬于高等數學領域的研究範圍。你可能知道二次求根公式，也可能知道三次和四次求根公式，但沒有一個通用的公式來求 5 次或更高次多項式的根，伽羅瓦理論通過研究與多項式根相關的群來幫助解開這個謎團。

因為 n 次單位根有它們自己的群結構，它們在伽羅瓦理論中占有重要的地位，尤其是因為這種結構很容易使用。單位根群滿足對易性，這意味着你調換兩個相乘對象的順序不會改變結果，而且它們總是“循環”的，這意味着你總是可以通過将單個元素與自身相乘來生成整個群。

在伽羅瓦理論中，與交換群相關聯是探索多項式中得到的一個非常好的性質，并且單位根的影響遠遠超出了 x^n − 1 形式的多項式。結果表明，伽羅瓦理論中任何與交換群相關的多項式都有根，這些根可以表示為不同單位根的和。從某種意義上說，單位根構成了某個數學領域中所有多項式的基礎。1900年大衛·希爾伯特提出了 23 個數學問題，用以指導接下來100年的數學探索方向，将單位根的作用推廣到其他數學領域是希爾伯特第 12 題的目标。現在，一個多世紀過去了，人們仍在研究第 12 個問題，并取得了一些進展，但數學家們還沒有完全解決這個問題，也許很快他們就會找到問題的根源。

作者：Patrick Honner

翻譯：C&C

審校：Nour

編輯：zhenni

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