微分流形是現代數學中一個非常重要的概念，簡單來說，它是歐式空間的推廣，是一種更為抽象和一般的“空間”。經過一百多年的發展，它已經被廣泛應用于數學和物理中，借助對微分流形的研究，我們對“空間”有了更為深入的了解和刻畫。

學過拓撲的同學應該都知道拓撲流形這個概念，拓撲流形指的就是“局部”同胚于歐式空間的拓撲空間，一般情況下為了适應需要，往往還要求這個拓撲空間滿足分離性質(也就是豪斯多夫公理)和具有可數拓撲基。這裡還需要解釋一下“局部”是個什麼意思，這指的就是對任意一個點，存在它的一個鄰域，這個鄰域和歐式空間同胚。這裡我們所考慮的拓撲流形是無邊的，對于一些有邊流形來說，我們就無法要求它們的邊界點有鄰域同胚于歐式空間，所以在這種情況下，同胚的對象會以歐式空間的上半空間來代替整個歐式空間。

定義了拓撲流形之後，我們會發現，這個概念實在是太寬泛了，基本絕大部分常見的空間都是拓撲流形，例如歐式空間，球面，環面，雙曲面等等。盡管拓撲流形局部同胚于歐式空間，但我們還沒有去關心這個同胚映射到底是怎麼樣的。

從曆史來看，黎曼大概是第一個使用“流形(Manifold)”一詞的數學家，這來自于他在哥廷根大學著名的就職報告《論作為幾何學基礎的假設》。黎曼的本意是将高斯在三維歐式空間中内蘊幾何思想推廣到任意的n維空間，但他最終給出的答案遠遠超過了當初的預期，于是黎曼幾何便自此誕生。從今天的觀點來看，黎曼關于流形的定義是不夠完善和精确的，但黎曼對“空間”的理解的确超越了時代，直接改變了幾何學的面貌。

純粹的拓撲空間實際上還是非常松散的，因為我們隻有最一般的抽象概念，例如開集，連續函數，同胚等等概念，如果我們想在空間上做更多的事，就必須對空間進行更精确的描述，所以我們還要在空間，或者說流形上附加一些結構。而對拓撲流形賦予“微分結構”後，它就成為了一個“微分流形”。粗略來說，微分結構要求拓撲流形中的同胚是光滑的(也可以降低光滑性要求，例如可以隻是連續或一次可微)。最重要的，這些光滑映射要“相容”，也就是說，如果兩個領域相交，那麼其上各自的光滑映射必須是互相光滑依賴的。

可能很多人會問，為什麼微分流形定義裡的要求都是“局部”的？如果我們的定義是整體的，那麼微分流形就會同胚于歐式空間，但同胚是一個非常強的拓撲限制條件，僅僅同胚于歐式空間的流形顯然沒有太大的研究價值，而且我們也會丢失一大類其他空間，甚至我們連球面這樣典型的空間也不能納入微分流形的範圍，所以我們必須要從“局部”定義。

微分流形的定義看起來很平凡，沒什麼特别的，但實際上這是總結了很多因素後才給出的抽象定義，在這樣的定義下，很多意想不到的數學對象也擁有了幾何結構，典型的例如全體可逆n維矩陣，m維向量空間的全體n維線性子空間等等，還有我們熟悉的莫比烏斯帶，克萊因瓶等，這些都是微分流形。但實際上，要給出微分流形的微分結構，很多時候并不是一件容易的事，因為微分結構往往不是唯一的。即使是再簡單不過的歐式空間，它的微分結構曾經也是一大難題。

特别當米爾諾(著名拓撲學家，菲爾茲獎，沃爾夫數學獎，阿貝爾獎等數學三大獎得主)發現了七維球面上存在不等價(也即不同的微分結構定義的微分流形之間不微分同胚)的微分結構後，微分結構的複雜性才充分顯示出來。後來的研究表明，三維及以下的微分流形微分結構是唯一(微分同胚意義下)的，而對于歐式空間，除了四維外，微分結構都是唯一存在的，而四維歐式空間上的微分結構甚至有無數種！從這種觀點來看，四維空間有它特殊的地方，但到底它有什麼奧秘，還需進行更深入的研究，這或許不是完全靠數學能解決的問題。

有了微分結構之後，一個明顯的好處是我們在歐式空間中可以賦予微分流形一個“坐标”，這個坐标就是通過微分同胚得到的，而有了坐标之後，我們能做的事就非常多了，就像之前在歐式空間中那樣。但對于微分流形這樣更一般的空間來說，很多傳統的數學概念是不能直接定義的，例如切向量，方向導數，梯度等，這是因為我們在考慮微分流形時，已經失去了歐式空間中那樣的幾何直觀。而且還有一個要緊的問題沒有解決，那就是微分流形上還隻有拓撲結構，沒有度量結構。

微分流形上的度量也是黎曼首先提出的，在裡奇(Ricci)等數學家引進張量後，黎曼度量才有了嚴格的數學描述，它被定義為流形上的二階共變對稱正定張量場，擁有了度量之後，微分流形才真正成為了幾何的研究對象，這也就形成了如今的“黎曼幾何”，它的研究對象就是賦予了黎曼度量的黎曼流形。實際上，微分流形上不僅僅可以賦予度量結枸，根據需要，也可以賦予其他結枸，例如如果我們賦予一個非退化的閉二次微分形式，那麼這個流形就成為了“辛流形”，研究它的幾何就是辛幾何。實際上，辛流形是經典力學和分析力學的抽象表述中的流形上的餘切叢，或者說是力學系統的相空間。

微分流形作為空間概念的推廣，被賦予了豐富的内涵，它不僅是數學的研究對象，在其他學科，尤其是物理中，微分流形也得到了極大的應用，典型的如愛因斯坦的相對論，其數學基礎就是黎曼幾何。如今，各種各樣的流形廣泛出現于不同的學科之中，例如服務于複幾何的複流形，加上了群結構的李群等等，所以可以毫無疑問地說，微分流形已經成為現代數學的基本語言。

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