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無限循環小數是不是都是有理數

生活更新时间:2025-01-23 03:17:49

很多朋友都知道實數軸上的數字分為有理數和無理數，其中有理數是可以表示為分數的數字，其餘則為無理數。

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）1

當有理數的表達式中的分子分母無法整除時，有理數就變成了小數。而小數則分為有限小數和無限小數，無限小數又分為無限循環小數與無限不循環小數，其中有限小數和無限循環小數屬于有理數，無限不循環小數屬于無理數。

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）2

無限循環小數，比如0.123123123…，為什麼就是有理數呢？
如果0.123123123…是有理數，那麼他的分數形式是什麼？如果不能寫成分數形式，憑什麼說他是有理數？

我們對0.123123123…做一個變形，如下：

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）3

即，這個無限循環小數可以表達為下面這種級數形式：

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）4

無論用級數的知識，或者用等比數列和極限的方法，都可以找到上面這個式子的最終結果。本文采用更為“普及”的等比數列與極限方法：根據上面的表達式，0.123123123…可以看做是以0.123為首項，以1/1000為公比的等比數列求和項的極限。這個等比數列的前n項和，以及其極限如下：

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）5

由此可以看到0.123123123…的分數表達為41/333，是有理數。那麼更一般的無限循環小數呢，其實都一樣，隻是叙述的時候式子略微複雜一些而已。

那麼，為什麼說無理數比有理數多呢？

無限循環小數是不是都是有理數（為什麼0.123123123這樣的無限循環小數）6

知名度排第一的無理數

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