一、比例線段（定義、性質、概念、名稱）

1、定義：

一般地， 如果兩個實數的比值與另兩個數的比值相等（比值不為0），那麼，就說這四個數成比例。

例如：a、b、c、d（a且b且c且d≠0）四個實數成比例表示為a：b=c：d或a/b=c/d，其中b、c為内項，a、d為外項等等。

2、性質：

a/b=c/d⇔axd=bxc（a、b、c、d不為0）

3、比例中項：

一般地，如果三個實數a、b、c（a且b且c不為0）滿足a/b=b/c（a：b=b：c），那麼，b就叫做a、c的比例中項。

4、比例線段：

①兩條線段的長度之比叫做這兩條線段的比。

②一般地，四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a/b=c/d，那麼，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

5、黃金分割比：

如果有一條線段AB，上有一個點P把AB分成AP和PB，使AP>PB,且PB/AP=AP/AB，那麼，我們稱線段AB被P點黃金分割，P叫做AB的黃金分割點，較長的線段AP與整條線段AB之比叫做黃金比。

例如：如圖所示，設AP/AB=x，PB=AB-AB·x，AP=AB·x（x＞0）。

因為PB/AP=AP/AB=x，

所以（AB-AB·x）/AB·x=x，化簡整理可得，x^2 x-1=0（x＞0），

解得，x=√5 -1/2≈0.618。

所以，黃金比的近似值為0.618。

6、平行線之間的比例線段：

一般地，我們有以下基本事實：兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對應線段成比例。

例如：如圖所示，AB/A´B´=BC/B´C´，AB/AC=A´B´/A´C´等等。

二、相似三角形

1、定義：

一般地，對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形，用符号“∼”表示，相似三角形對應邊之比叫做相似比。

2、判定定理：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。

如下圖：DE∥BC，DE與AB、AC相交，則△ADE∼△ABC。

②有兩個角對應相等的兩個三角形相似。

（證明：對于兩個一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長線段，再作平行線。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【角邊角（ASA）】，即可證明大小兩個三角形相似）

③兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似。

（證明：對于兩個一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長線段，在作平行線。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【邊角邊（SAS）】，即可證明大小兩個三角形相似）

④三邊對應成比例的兩個三角形相似。

（證明：對于兩個一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長線段，在作平行線。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【邊邊邊（SSS）】，即可證明大小兩個三角形相似）

3、性質：

①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。（定義）

②三角形的重心：

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，三角形的重心平分每一條中線成1：2的兩條線段。

證明如下：作AF、BE、CD分别平分BC、AC、AB，連接DE。

因為D、E分别平分AB、AC，

所以DE為△ABC的中位線，DE∥BC，

所以∠CDE=∠DCB，∠DEB=∠CBE，

所以△DEO∼△CBO，且相似比為DE:BC=1:2，BO:OE=2：1。

同理可得AF與CD的情況，即：三角形的重心平分每一條中線成1：2的兩條線段。

③相似三角形的周長和面積：

相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方。

證明如下（上圖）：設△DEO與△CBO的相似比為k（k＞0）。

因為△DEO與△CBO的相似比為k（k＞0），

所以DE/BC=OD/OC=OE/OB=k，DE=BC·k，OD=OC·k，OE=OB·k，

所以C△DEO：C△CBO=（DE OD OE）：（BC OC OB）=k。

分别作DE、BC的高線（圖中未作出），根據判定定理②可以得到被高線分别平分的兩個三角形對應相似，再根據三角形面積公式可得，S△DEO：S△CBO==k^2。

三、相似多邊形

1、定義：

一般地，對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

2、性質：

相似多邊形的周長之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方。

（證明可參照三角形的方法，複雜的圖形化簡單，化規則）

四、圖形的位似

1、定義：

一般地，如果兩個圖形滿足以下兩個條件：①所有經過對應點的直線都相交于同一點；②這個交點到兩個對應點的距離之比都相等，那麼這兩個圖形就叫做位似圖形，經過各對應兩點的直線的交點叫做位似中心。位似中心到兩個對應點的距離之比叫做位似比。（可以把兩個圖形放在平面直角坐标系中）

2、性質：

當以坐标原點為為似中心時，若原圖形上點的坐标為（x,y)，位似圖形與原圖形的位似比位k(k＞0），則位似圖形上的對應點的坐标為（kx,ky）或（-kx,-ky）(k＞0，x、y不同時為0）。

美麗的圖形變幻

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