這一節會講分析多元方程的方法之一鍊式法則。這一章将鍊式法則講解的非常清晰。有了偏微分的基礎後，會發現鍊式法則就是微積分分析中的萬金油，微分的乘除法換元法都可以用鍊式法則代替。當然，這個故事還需要從頭講起。

通常所說的函數指的是顯函數，表達式為y=f(x)。很多時候，并不能直接通過x去表示y，而是F(x,y)=0的形式，這就是隐函數。

在求隐函數的微分的時候，有些小竅門是可以使用的：

對于多元或者複雜的函數，有一套标準的方法可以進行分析。

首先說下單變量下的鍊式法則，對于一個函數鍊z=f(g(x))。

通過這個公式原來需要計算的複雜函數導數就會轉化成兩個已知簡單函數的導數。看一個例子來直觀的理解：sin(3x)。内函數是y=3x，外函數是z=sin(y)。

根據鍊式法則，得到：

函數z的頻率是正弦函數頻率的三倍，所以變化的幅度更大，在原點處，斜率也是3倍，這和導數圖像的結果完全一樣。這就是鍊式法則的直觀的表示。

全微分（Total Differentials）先來給個結果，對于f(x,y,z)，全微分：

d 就是微分符号，如何去考慮微分符号? 首先看看不能怎麼去考慮：

前者表示的是微分符号，而後者表示非常小數量，注意這兩者千萬不要混用，即使在很多教科書上，這兩者都被混用了。微分符号可以這樣認為：

• 反映了變量變化時對函數的影響。

• 是一個微小變化的占位符。

• 同時除以 dt 可以得到t趨近于0變化率。

這個就是 鍊式法則（chain rule）。如果函數依賴于某些變量，變量又依賴于其他變量，鍊式法則可以尋找出函數在新變量下的變化率以及各變量之間的依賴關系。

有一個曾經我們使用過比較熟悉的公式可以和微分方程做個對比，注意這裡是約等号而不是等号：

先來一個不太嚴謹的證明：

如果x,y,z分别是t的函數，則有

帶入後：

等式兩邊同時除以 dt 就是鍊式法則。

更好點的證明：

當分母和分子的微小變量非常小的時候，就出現了0/0這種情況，這就是微積分要處理的。微積分保留了這個值，在極限條件下這個值就是導數。變化率趨近的值就是微分,約等号也就變成等号了。這就是鍊式法則最核心的原理。

來看個例子：

也可以直接将各部分值帶入，可以得到同樣的結果。這裡鍊式法則本質上是将多變量轉化為單變量。如果x,y,z不能寫成t的顯性函數，則隻能使用鍊式法則。

一個很有意思的地方，很多人知道導數的乘法法則，确實乘法法則是鍊式法則的一個應用，反過來乘法法則也可以通過鍊式法則來證明。

再來看看除法法則：

到現在為止，感覺一切都沒有問題，都是那麼完美。突然有聲音在問，之前的鍊式法則，都是認為所有變量都是關于共同變量t的，都依賴于同一個t，這本質上就是單變量的求導，如果每個變量依賴多個不同的變量，比如說一個極坐标下的方程，鍊式法則怎麼用，函數w關于u,v的偏導數到底是什麼？

可以把x和y的公式帶入，w就變成了u和v的方程。但是求這個函數的偏導數絕對會讓人抓狂的。或者，将鍊式法則進行到底：

如果改變u的話，w如何改變？x，y如何改變，這些是微分關系給我們的。

整理下這個式子，看括号内的部分：

理解這個式子也不難，我們想知道，u如何影響f，f是關于x和y的函數，x和y又依賴于u，這就是鍊式法則的精華了。

有人發現分子分母上都有同樣的偏微分符号，是不是可以再詞約分化解，答案是不行。

偏微分不能約分，偏微分不能約分，偏微分不能約分。

但是上下同時有微分符号，是可以約分的，這就是微分和偏微分的不同。

平面直角坐标系和極坐标系轉換的公式是：

如果已知函數f(x,y)，想知道直角坐标系下 f 關于極坐标下 r 或者 角度 的變化，可以用鍊式法則嘗試下了，是不是簡單很多。

下期講解偏微分的另一個工具，梯度和方向導數。

五分鐘MIT公開課-多元微積分：偏微分

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