重力加速度通常指地面附近物體受地球引力作用在真空中做自由落體運動的加速度，記為g，其近似值通常取為9.8米/秒的平方。從初中開始，我們就接觸這個物理量，感覺就是和π一樣，就是個常數而已，真的如此簡單嗎？

我們先來看一下重力加速度與什麼有關？假設一個質量為m的質點與一質量為M的均勻球體的球心距離為r時，質量所受的重力大小約等于兩物體間的萬有引力，為：F=GMm/(r的平方)其中G為引力常數。根據牛頓第二定律F=ma=mg，可得重力加速度g=GM/(r的平方)

可見重力加速度與兩個因素有關，一是重力的施力物體的質量，二是受力物體到施力物體質心的距離。

昨天我們已經根據g=GM/(r的平方)，地表的重力加速度大一些，高空的重力加速度小一些。今天讓我們把這個問題繼續深入或者更真實的聊一聊。首先，我們假設球體的半徑為R。分幾種情況：

（一）如果r＞R，那麼地表的重力加速度大一些，高空的重力加速度小一些。

（二）如果r＜R，那麼r處的重力加速度會怎樣呢？注意均勻球體内部某點的萬有引力隻與該點與球心連線做半徑的部分球體有關，類似高斯定理（有興趣的小夥伴可以百度）。所以根據g=GM/(r的平方)和此時的有效球體質量（m）為密度與有效球體體積的乘積，所以m=（M/（4πR的立方/3））（4πr的立方/3），所以g=(GM/R的立方)r，可見在球體内部随着r的變化，重力加速度呈線性變化。

（三）特殊情況的重力加速度

特殊情況的重力加速度其實是特殊情況萬有引力的變形，無非兩種方法補全法和分割法。

補全法：（主要考察方法）适用于不規則物體缺失部分為規則幾何體，且補全後也變成規則幾何體的情況。如下圖

有一質量為M，半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為R的地方有一質量為m的質點，現從M中挖去一半徑為R/2，質量為m1的球體，如圖所示，求剩下部分對m的萬有引力F為多大？

用補全法解決：把挖去的部分補回去，重新形成一個規則的，且質量均勻的幾何體。補全之後，整個球體對質點的萬有引力=剩下部分（藍色部分）對質點的萬有引力 補上去部分（灰色部分）對質點的萬有引力。

顯然，整個球體對質點的萬有引力為直接應用萬有引力定律直接計算的，補上去部分（灰色部分)也可以直接應用萬有引力定律計算的，二者相減就可以知道剩下不規則部分對質點的萬有引力了。

進而演變成高考題。如圖，P、Q為某地區水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區域内儲藏有石油，假定區域周圍岩石均勻分布，密度為肉ρ ；石油密度遠小于ρ ，可将上述球形區域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現象。已知引力常數為G。

（1）設球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），PQ =x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半徑L的範圍内發現：重力加速度反常值在 與 （k>1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現在半為L的範圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

這是标準答案，但是這個答案也交代清楚補全法的應用，但你有疑惑嗎？[what]我想最大的

2、分割法（次要考察方法）

分割法則适合用于形狀不規則，但可分割為幾個規則幾何物體的不規則物體。（由于分割法較為複雜，且考察的情況較少，在這裡不做詳細的展開。）

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