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最小二乘法的推導過程

圖文 更新时间:2024-10-15 17:52:29

最小二乘法拟合成曲線的問題,最終是求解多項式的系數問題。這篇文章主要講解如何求解拟合曲線的系數。

上一篇文章說了最小二乘法的推導過程,有興趣可以了解一下 ,鍊接在文章末尾的往期推薦:最小二乘法推導過程。

上一篇文章中有一個表達式,一會兒要用到,該表達式如下所示:

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)1

求解系數用到了克萊姆法則,我們先了解一下。

若線性方程的系數矩陣可逆(非奇異),即系數行列式 D≠0,則線性方程組有唯一解,其解為

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)2

其中Dj是把D中第j列元素對應地換成常數項而其餘各列保持不變所得到的行列式。

假如現在我們要求二次函數的曲線

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)3

則上面提及的推導過程就變成了如下所示:

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)4

則其系數行列式為:

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)5

若系數行列式D不為0,則方程組有解。另外有

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)6

最終各系數解為:

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)7

另外,三階行列式求值公式為如下:

最小二乘法的推導過程(最小二乘法系數求解)8

至此,最小二乘法的系數求解部分就說完了,隻看這篇文章可能會吃不消,建議把往期推薦中的“最小二乘法曲線拟合推導過程”也看看,也要求對線性代數有一定的基礎。下一篇文章會用C語言實現最小二乘法。

往期推薦:最小二乘法公式推導過程

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