作者｜ 曹亮吉

來源｜ 選自《漲本事的數學密碼書》之《藏在旅行中的數學》分冊，好玩的數學數學獲授權轉載。

阿拉伯數字、東西大不同？

第一次到印度及尼泊爾地區旅行，我就注意到他們的汽車車牌，有的用我們熟悉的阿拉伯數字，有的則用另一種數字；我猜應該是梵文數字，它是阿拉伯數字的前身。幸好有的車挂兩個車牌，一左一右，一是阿拉伯數字，一是梵文數字。經過幾次的做筆記，幾次的核對，不久我就有了兩種數字的對照，如下表中一、三兩行所示：

回家後查了資料，大緻了解了阿拉伯數字的曆史。印度在公元前三世紀的阿育王時代，就有了 1 至 9 的婆羅門數字（表中的第四行），後來逐漸演變成梵文數字。不過依據現有文獻，代表零的符号，要遲至九世紀才出現在瓜廖爾（Gwalior）地方小廟的牆上。

瓜廖爾位于以泰姬陵出名的阿格拉（Agra）正南方約100km 的地方。一般旅客會到那裡，是去看雄偉的瓜廖爾城堡，及堡内富麗堂皇的廟宇與宮殿。大概很少人會去注意那個小廟及那個小小的 0。

公元七世紀阿拉伯人興起，到九世紀時，吸收了印度（梵文）數字，逐漸發展成東阿拉伯數字（前面表中第二行）及西阿拉伯數字兩種寫法。西阿拉伯數字再傳到歐洲，就是現在所說的阿拉伯數字。東阿拉伯數字現在仍然流行于埃及、叙利亞、阿拉伯、波斯等地區，你可在這些地區的機場看到東、西阿拉伯數字的并列使用，來驗證東阿拉伯數字的寫法。（伊朗的兒童電影《天堂的孩子》中，參加馬拉松賽跑的小朋友，胸前的号碼布條上所寫的就是東阿拉伯數字。）

從婆羅門數字到阿拉伯數字，我們可以觀察其演變。有些演變有迹可循，譬如 1、2、3；有些像 5 的變化，就看不出所以然。阿拉伯數字還會演變嗎？我猜不會，因為現在計算機通行全世界，這些數字寫法已經标準化了；我相信手寫的變體 4 及 7 逐漸會消失。

不過從表中，我們看出最特别的是婆羅門數字沒有0，梵文數字才有 0，這是阿拉伯數字能夠征服世界的秘密所在。想想看，沒有 0 會怎麼樣？102 要寫成為 12，120 的寫法也一樣，兩者連同 12 就分辨不出來。也許 102 該寫成為 12，1 與 2 之間空一格；而 120 該寫成 12，後面空一格，傳統的籌算記法就是如此（∣ ∣∣ 或 ∣＝）。

不過空幾格不容易寫清楚、看清楚，于是中文就有了位名：一百二（102）或一百二十（120）。沒有 0，就要生出十、百等位名，才能解決問題。計算時，幸而有位置定值的籌算或算盤，才不會受到位名的幹擾。歐洲人原來用的記數系統也都需要位名的幫忙（計算時則用類似于算盤的算闆）。有了阿拉伯數字，用十個符号就能寫下任何的數目，而且可以直接用來計算。

有人說 0 是數學中最偉大的發明，它原本代表沒有，但它在位值表法的系統中，往往無中生有，确切表示出數目來。

阿拉伯數字通行全世界，讓我們出門在外買東西殺價，不怕弄不清楚：用阿拉伯數字筆談可也。

野獸的房間

旅行團來到非洲津巴布韋維多利亞市，準備觀賞維多利亞瀑布及鄰國博茨瓦納的丘比（Chobe）國家公園。在象丘飯店（Elephant Hills Hotel）裡，領隊依例讓團員自選房間鑰匙，有對夫婦很高興搶到了 666 号房間的鑰匙──六六大順，六六六大大順了！

到 了 六 樓， 從 電 梯 旁 的 房 間 開 始，660、661……665，再隔壁一間，奇怪了，居然是 665A，再隔壁一間是 667。666 在哪裡啊？回頭找櫃台，櫃台說 665A 就是666，但說不出為什麼。

《聖經·啟示錄》13:18 節說 666 是“野獸數”，聰明的人可算出誰有“野獸數”，就知道誰是那頭害人的野獸。我知道在基督教的世界裡，666 成了邪惡的數目，但房間号碼避開不用，倒是開了眼界。

古代的希臘借用字母來表數目：第一個到第九個字母依序表 1 到 9；第十到第十八字母依序表 10、20 到90；第十九到第二十七字母依序表 100、200 到 900。在這個系統中，至多用三個字母就可以表 1 到 999 的任一個數目。如果要表 1000，則在表 1 之字母 a 的前面加一逗點成“, α”，以此類推。

希臘原有 24 個字母，再借用三個外來的字母 ς、 Ϙ、ϡ。字母、發音及相應數目如表所示：（希臘字母無法正常顯示）

拉丁的字母就是從希臘字母演變來的，所以英文取希臘頭兩個字母，而稱字母為 alphabet。西方數學源自希臘，所以常用希臘字母作為數學符号。

“阿門”（Amen）的希臘文為 αμην，這 4 個字母各表 1、40、8、50，相加得 99，所以希臘祈禱文的最後會寫上代表 99 的兩個字母 ϙθ。

把一個人名字的字母，改成相應的數目再加起來，就是這個人的“數目”。占蔔者可用每個人的“數目”來預蔔其前途。這種想法還傳到其他地方，成了西方的一種“術數”。

譬如兩個人決鬥，可先算這兩個人的“數目”，譬如各得 503 及 718，然後算其 9 餘數，各為 8 及 7，那麼 9餘數大者決鬥會赢。

一個人的“數目”如果是“野獸數”666，他就是野獸了。那麼《聖經·啟示錄》13:18 節所指的野獸是誰呢？當然，一再嘗試，可讓很多人現形，其中最有名的是羅馬皇帝尼祿。這是猶太人把尼祿皇帝（Caesar Nero）用希伯來字母寫出來後，依據字母換數目，再相加所得的結果。用拉丁文、希臘文，尼祿不是野獸，但殺害猶太人的尼祿，用了希伯來文就算出了真面目。

數本來是用來數東西的多少，或表示量的多寡，但東西文化都一樣，會把數神秘化，而衍生了種種的“術數”。

到維多利亞瀑布，可順道過邊界，到博茨瓦納的丘比國家公園，近距離看象群。

解讀羅馬數字

有些大建築在其牆面上會留下建造的年代。在歐美通常用公元年代，有的用阿拉伯數字，有的用羅馬數字來表示。所以看得懂羅馬數字，在歐美旅行會增加一些樂趣。

不出國，偶爾能看到羅馬數字的地方，是有些大鐘的鐘面上。我們就從這種鐘面上的 1 至 12，I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII，來開始認識羅馬數字。

1 是 I，2 是兩個 I：II，3 是三個 I：III。4 照理說應該是四個 I，但卻寫成 IV，它的意義從 5（V）與 6（VI）就可看得出來：顯然 5 用了一個新的字母 V 來代表，6（VI）當然就是 5 1 了。那麼 4（IV）就可以解釋成 5-1。相對于 I 擺在 V 的右邊表 5 1（加法原理），I 擺在 V 的左邊就是 5-1（減法原理），如此一來 VII 表 7，VIII 表8 就很自然，而認定新出現的字母 X 表 10，則 IX 表 9，XI 表 11，XII 表 12 也就理所當然。

羅 馬 數 字 以 L 表 50，C 表 100，D 表 500，M 表1000，加上已經知道的 I 表 1，V 表 5，X 表 10，再用上述的加法原理及減法原理，則用這些字母就可表示 4000以下的數目了。

那麼 4000 怎麼表示？引用前面的原理，就先要有一個字母表 5000。但羅馬人沒用一個字母表 5000，而是用MMMMM 來表示；當然 4000 就用 MMMM 表示了。簡單說，有多少個千，就用多少個 M 來表示。大概羅馬人很少用到 5000 以上的大數目吧！

建築上有 MCMLX，表示它是 1960 年建造的。可不可以把 MC 看成 1100，加上 MLX（1060），就是 2160 ？不可以，因為 C 在第二個 M 的左邊，而 C 比 M 小，所以就表示 M-C，就是 900。

用希臘字母表數目，字母的順序是無關緊要的，代價是要用較多的字母。用羅馬字母表數目，所用的字母較少，但順序就得注意點。用阿拉伯數字，順序變成絕對重要，因此用十個數字符号，就可表任何數目。這十個數字中，0 最重要了。古希臘或羅馬都沒有代表 0 的數 字 符 号，60 就 用 LX 表 示，601 就 用 DCI 表 示。古代 的 中 國 也 沒 有 0，60 就 用“六 十” 表 示，601 就 用“六百一”表示；“六百一”不是 610，“六百（一）十”才是 610。

羅馬數字與阿拉伯數字不同，不是位置定值的，因此數目之間的四則運算就無法有效進行。譬如兩數相乘，你如果将乘數與被乘數的數字字母成對相乘，其後并不能把各乘積就相加，因為表一個數時，字母之間有時用的是減法。

羅馬人雖然用字母的組合表數目，但做四則運算時，則用算闆。算闆上畫着幾條平行的直線，就像五線譜那樣：第一線是表 1 的位置，第一間是表 5 的位置，第二線是 10，第二間是 50，以此類推。将 4 顆石頭擺在第一線上就代表 4；第一間放着 1 顆石頭就代表 5，若再加進第 2 顆石頭，5×2 得 10，可把這兩顆石頭拿掉，代之以1 顆石頭放在第二線上。

古老的大鐘面常用羅馬數字。此為瑞士伯爾尼市區内的牢獄塔。

算闆上的擺法與算法，其實和算盤很類似。兩者數目的表法其實是阿拉伯式的位置定值法（隻是多了 5、50等輔助值），而不是羅馬式的。位置定值法所需表空位的0，算闆（或算盤）隻在相應的位置不擺石頭就好了。

羅馬人的記數法和算術的計算無關，而阿拉伯的記與算則是合二為一的。西方人一開始沒有馬上接受阿拉伯數字，不過到底記與算合一是非常方便的，所以阿拉伯數字終于征服了西方人，乃至全世界的人。

阿拉伯數字是排列式的，羅馬數字是半組合、半排列的，希臘數字是組合式的，于是，排列征服了組合。

不過羅馬數字還是掙紮着留在建築的牆面上、大鐘的鐘面上，因為人有懷舊的心理，就像家裡挂着甲骨文的字帖那樣。

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