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三個自然數的和公式

圖文更新时间:2024-09-11 14:18:21

我們都知道自然數的平方和公式，利用數學歸納法也很容易證明。

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）1

連續自然數的平方和

但它是怎麼推導出來的呢，恐怕很多人就不知道了。推導方法有很多，我們來看看國外某位大神的方法，居然利用三角形的重心，可謂是匠心獨運。

假設平面上有1 2 …… n個小球，每個小球的質量都是1，它們均勻排列成一個倒置的等邊三角形，如下圖所示。為了計算方便，我們把最下方的小球放在坐标（0，1）處。

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）2

等邊三角形陣列

将整個三角形陣列作為一個整體，考慮其重心位置的y坐标，有兩種計算方法。

第一種方法，直接求出所有小球的y坐标的平均值，計算過程如下：

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）3

平均坐标法求重心位置

第二種方法，我們知道三角形的重心是三條中線的交點，并且這個交點把每條中線都分成了1：2的兩段。

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）4

重心在高度的2/3位置

而整個三角形的高度是n-1，所以其重心的y坐标為：

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）5

利用幾何定理求重心位置

兩種計算方法得到的結果必然相等，于是我們得到：

三個自然數的和公式（自然數的平方和公式）6

自然數平方和公式推導

這個推導過程精彩絕倫，數學真是奇妙啊！

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