我們都知道自然數的平方和公式,利用數學歸納法也很容易證明。
連續自然數的平方和
但它是怎麼推導出來的呢,恐怕很多人就不知道了。推導方法有很多,我們來看看國外某位大神的方法,居然利用三角形的重心,可謂是匠心獨運。
假設平面上有1 2 …… n個小球,每個小球的質量都是1,它們均勻排列成一個倒置的等邊三角形,如下圖所示。為了計算方便,我們把最下方的小球放在坐标(0,1)處。
等邊三角形陣列
将整個三角形陣列作為一個整體,考慮其重心位置的y坐标,有兩種計算方法。
第一種方法,直接求出所有小球的y坐标的平均值,計算過程如下:
平均坐标法求重心位置
第二種方法,我們知道三角形的重心是三條中線的交點,并且這個交點把每條中線都分成了1:2的兩段。
重心在高度的2/3位置
而整個三角形的高度是n-1,所以其重心的y坐标為:
利用幾何定理求重心位置
兩種計算方法得到的結果必然相等,于是我們得到:
自然數平方和公式推導
這個推導過程精彩絕倫,數學真是奇妙啊!
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